E-Funktion mit Parabel gleichstellen?

Hi, in meinem Mathebuch ist die Aufgabe, einen Schnittpunkt von e^x und 2x^2 zu finden. Also e^x=2x^2. Gefragt ist eine positive Schnittstelle (die es auf jeden fall gibt), beim TR (Casio) kommt jedoch nur die Schnittstelle im negativen Bereich/2.Quadranten raus. Ich weiß leider nicht wie ich das lösen kann sowohl mit TR als auch ,,normal". Könnte mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

[gauss58]

Eine Möglichkeit besteht darin, ein Näherungsverfahren, z.B. das Newtonverfahren, zu nutzen: x_n+1 = x_n - (f(x_n) / f'(x_n))

Der jeweilige Startwert sollte nahe der jeweiligen Nullstelle liegen. Beginnt man mit x_n = 1,5 , so kommt bei der ersten Iteration 1,4879... und bei der zweiten Iteration 1,4878... heraus.

Entsprechend findet man die anderen beiden Nullstellen.

Answer 2

[DerRoll]

Wie man z.B. hiermit

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/jsplotter.htm

leicht sehen kann gibt es drei Schnittpunkte. Wie @gauss58 schon geschrieben hat bieten sich numerische Verfahren an,bei denen der Startpunkt möglichst nahe an der gewünschten Stelle liegt.

Answer 3

[mihisu]

Was für ein Taschenrechner-Modell verwendest du den genau? (Mit „Casio“ hast du nur den Hersteller genannt. Da gibt es aber viele verschiedene Taschenrechner mit unterschiedlichem Funktionsumfang. Je nachdem, kann der Taschenrechner da hilfreicher oder weniger hilfreich sein.)

Zunächst einmal der Hinweis, dass sich die Gleichung vermutlich gar nicht mit Anwendung elementarer Funktionen exakt nach x auflösen lässt. Mit Hilfe der lambertschen W-Funktion könnte man die Lösungen als

$x=-2\cdot W_k\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

angeben. Aber das wird dich hier wahrscheinlich nicht interessieren.

Dementsprechend geht es hier wohl eher um eine Lösung mit einem Näherungsverfahren.

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Die Lösungen der Gleichung

$\text{e}^x =2\cdot x^2$

sind offensichtlich gleich den Nullstellen der durch

$f(x)=\text{e}^{x}-2\cdot x^2$

gegebenen Funktion.

Zunächst einmal könnte man eine kleine Wertetabelle betrachten, um zu sehen, wo mögliche Lösungen liegen könnten...

$\ \begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 0\text{,}5 & \approx 1\text{,}15 \\ \hline 1 & \approx 0\text{,}72 \\ \hline 1\text{,}5 & \approx -0\text{,}02 \\ \hline 2 & \approx -0\text{,}61 \\ \hline 2\text{,}5 & \approx -0\text{,}32 \\ \hline 3 & \approx 2\text{,}09 \\ \hline\end{array}$

Dementsprechend kann man erkennen, dass es zumindest zwei positive Lösungen gibt, wovon eine zwischen 1 und 1,5 liegt und eine zwischen 2,5 und 3 liegt.

Nun kann man sich schrittweise mit einem Näherungsverfahren der Lösung annähern. Beispielsweise kann man das Intervallhalbierungsverfahren nutzen. Für das Auffinden der Lösung wird da für ein Intervall

$\left[a_{n}; b_{n}\right]$

jeweils die Intervallmitte

$x_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}$

und der entsprechende Funktionswert

$f(x_{n})$

betrachtet. Dann wird geschaut, in welchem der Teilintervalle

$\left[a_{n}; x_{n}\right]\text{ oder }\left[x_{n}; b_{n}\right]$

die Funktion f ihr Vorzeichen wechselt. Dieses Teilintervall wird dann als Intervall für den nächsten Schritt verwendet.

So erhält man im konkreten Fall beispielsweise für die zwischen 1 und 1,5 liegende Lösung...

$a_0 = 1\quad \text{ mit }f(a_0)\approx 0\text{,}72 > 0$

$b_0 =1\text{,}5\quad \text{ mit }f(b_0)\approx -0\text{,}02 < 0$

$\ \begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline n & a_{n} & b_{n} & x_{n} & f(x_n) \\ \hline 0 & 1 & 1\text{,}5 & 1\text{,}25 & \approx 0\text{,}3653 > 0 \\ \hline 1 & 1\text{,}25 & 1\text{,}5 & 1\text{,}375 & \approx 0\text{,}1738 > 0 \\ \hline 2 & 1\text{,}375 & 1\text{,}5 & 1\text{,}4375 & \approx 0\text{,}0773 > 0 \\ \hline 3 & 1\text{,}4375 & 1\text{,}5 & 1\text{,}46875 & \approx 0\text{,}0293 > 0 \\ \hline 4 & 1\text{,}46875 & 1\text{,}5 & 1\text{,}484375 & \approx 0\text{,}0055 > 0 \\ \hline 5 & 1\text{,}484375 & 1\text{,}5 & 1\text{,}4921875 & \approx -0\text{,}0064 < 0 \\ \hline 6 & 1\text{,}484375 & 1\text{,}4921875 & 1\text{,}48828125 & \approx -0\text{,}0005 < 0 \\ \hline 7 & 1\text{,}484375 & 1\text{,}48828125 & 1\text{,}486328125 & \approx 0\text{,}0025 >0 \\ \hline 8 & 1\text{,}486328125 & 1\text{,}48828125 & [\ldots] & [\ldots] \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

So kommt man dann darauf, dass die entsprechende Lösung auf zwei Nachkommastellen gerundet 1,49 ist.

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Alternativ könnte man auch beispielsweise mit dem Newton-Verfahren arbeiten.

Dazu betrachtet man beispielsweise wieder die durch

$f(x)=\text{e}^{x}-2\cdot x^2$

gegebene Funktion, deren Nullstellen den gesuchten Lösungen entsprechen. Dazu berechnet man dann ausgehend von einem Startwert x₀ schrittweise die Stellen

$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_{n}-\frac{\text{e}^{x_n}-2\cdot x_{n}^2}{\text{e}^{x_n}-4\cdot x_n}$

So erhält man beispielsweise für die Startwerte x₀ = 0 bzw. x₀ = 1 bzw. x₀ = 3 ...

$\ \begin{array}{c||c||c||c|} n & x_{n}\text{ für }x_0 = 0 & x_{n}\text{ für }x_0 = 1 & x_{n}\text{ für }x_0 = 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 3 \\ \hline 1 & -1 & \approx 1\text{,}560 & \approx 2\text{,}742 \\ \hline 2 & \approx -0\text{,}626 & \approx 1\text{,}487 & \approx 2\text{,}636 \\ \hline 3 & \approx -0\text{,}544 & \approx 1\text{,}488 & \approx 2\text{,}618 \\ \hline 3 & \approx -0\text{,}540 & \approx 1\text{,}488 & \approx 2\text{,}618 \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$

Da kommt man dann auch wieder auf ungefähr 1,49 für die eine positive Lösung. [Die andere positive Lösung liegt bei ungefähr 2,62. Und die negative Lösung liegt bei ungefähr -0,54.]

Answer 4

[Marouane2234]

Du kannst dir Octave downloaden und ein Skriot schreiben:

% Definiere die Funktion

function y = f(x)

y = exp(x) - 2*x.^2;

end

% Setze den Bereich für die Suche nach Nullstellen

x0 = -2; % Startwert 1

x1 = 2; % Startwert 2

% Finde die Nullstellen

nullstelle1 = fzero(@f, x0);

nullstelle2 = fzero(@f, x1);

% Ausgabe der Nullstellen

fprintf('Die Nullstelle in der Nähe von %d ist: %f\n', x0, nullstelle1);

fprintf('Die Nullstelle in der Nähe von %d ist: %f\n', x1, nullstelle2);

% Optional: Plot der Funktion

x = linspace(-3, 3, 100);

y = f(x);

figure;

plot(x, y);

hold on;

plot(nullstelle1, f(nullstelle1), 'ro'); % Nullstelle 1

plot(nullstelle2, f(nullstelle2), 'ro'); % Nullstelle 2

xlabel('x');

ylabel('f(x)');

title('Plot der Funktion f(x) = e^x - 2x^2');

grid on;

hold off;