Mathe: Schnittpunkte zweier Parabeln & einer Parabel und Gerade
Hallo,
Wie berechne ich die Schnittpunkte zweier Parabeln? Beispielsweise mit den Funktionen: f(x)= -2X^2+2X+28 g(x)= 2X^2+4X-2
Den Lösungsansatz: f(x)=g(x) weiß ich, aber weiter nicht! :(
Außerdem muss ich die Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden berechnen können.
Bitte um eure Hilfe! Danke im voraus
2 Antworten
Hallo Muybien,
du kannst Schnittpunkte jeder Funktion berechnen, indem du die Funktionsgleichungen gleichsetzt:
Hier
mal ein Beispiel für die Schnittpunkte einer linearen Funktion und
einer quadratischen Funktion (Parabel): Du hast eine lineare Funktion
(y=mx+n) mit: y1=5x+7 und eine quadratische Funktion (y=ax²+bx+c) mit
y2=2x²-6x+8 und möchtest davon die Schnittpunkte berechnen. Du setzt die
Funktionsgleichungen gleich zu y1=y2 und zu 5x+7=2x²-6x+8, dann
subtrahierst du als äquivalenten Umformungsschritt 5x+7 von der
Gleichung, so dass du eine quadratische Gleichung in der allgemeinen
Form (0=ax²+bx+c), die du in die Normalform (0=x²+px+q) überführen
musst, indem du diese quadratische Gleichung als äquivalenten
Umformungsschritt durch den Parameter a, also 2 teilst.
Dann
erhälst du eine quadratische Gleichung in der Normalform (0=x²+px+q) mit
0=x²-5,5x+0,5 erhälst. Mithilfe der p-q-Formel
(x1/2=-(p/2)+/-√((p/2)²-q)), wo du nur p=-5,5 und q=0,5 einsetzen musst.
Dann erhälst du zwei Ergebnisse.
Berechnung Ergebnis 1:
x1=-(p/2)+√((p/2)²-q),dann setzt du p=-5,5 und q=0,5 ein und erhälst
x1=-2,75+√7,0625, was x1=-0,09 (gerundet).
Berechnung Ergebnis 2:
x2=-(p/2)-√((p/2)²-q), durch Einsetzen erhälst du dann x2=-2,75-√7,0625
und erhälst anschließend x2=-5,41 (gerundet). Dann hast du die x-Werte
der Schnittpunkte und möchtest noch die y-Werte erhalten. Diese erhälst
du, indem du x1 und x2 jeweils in einer der beiden Funktionsgleichungen
einsetzt. Also setzt du am besten beide in y1 ein, weil das einfacher zu
rechnen ist.
Berechnung des 1.y-Wertes: Man setzt zur Berechnung
des y-Wertes vom ersten Schnittpunkt den Wert für x1 in eine
Funktionsgleichung ein, nehmen wir die Funktionsgleichung von y1. Also
y1=5x+7 und erhalten dann y1=5*-0,09+7 und y1=6,55. Wir haben schon den
Schnittpunkt S1(-0,09/6,55).
Berechnung des 2.y-Wertes: Du setzt
diesmal x2 in einer der beiden Funktionsgleichungen ein, am besten in
y1. Dann erhälst du y2=5x+7 und y2=5*6,55+7 nebst y2=39,75 und wir sind
für diesen Fall fertig.
Schauen wir uns den Fall mit den
Schnittpunkten zweier Parabeln an, nehmen wir y1=2x²+4x+6 und
y2=-3x²+6x+9. Wir setzen die Funktionsgleichungen wieder gleich, so dass
wir y1=y2 erhalten und wir 2x²+4x+6=-3x²+6x+9 bekommen. Wir stellen die
Gleichung so um, dass eine quadratische Gleichung herauskommt, also
subtrahieren wir 2x²+4x+6 von der gesamten Gleichung und erhalten mit
0=-5x²+2x+3 eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form
(0=ax²+bx+c), die wir zur Überführung in die Normalform (0=x²+px+q)
durch a, also -5 dividieren müssen. Dann erhalten wir 0=x²-0,4-0,6.
An
dieser Gleichung können wir nun die p-q-Formel
(x1/2=-(p/2)+/-√((p/2)²-q) anwenden. Daraus erhalten wir wieder zwei
Ergebnisse:
Berechnung des 1.x-Wertes: Wir setzen wieder p=-0,4 und q=-0,6 ein. Also x1=-0,2+√0,64, also kommt als Ergebnis x1=0,6 heraus.
Berechnung
des 2.x-Wertes. Wir setzen p=-0,4 und q=-0,6 ein, so dass wir
x2=-0,2-√0,64 und als Ergebnis x2=-1 erhalten. Danach musst du nur noch
die jeweiligen y-Werte ermitteln, das machst du wieder, indem du beide
Werte in eine der beiden FUnktionsgleichungen einsetzt und diese dann
berechnest.
Berechnung von y1: Wir berechnen zuerst y1, indem wir
x1 in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, also y1.
y1=2x²+4x+6 und y1=2*0,6²+4*0,6+6 und erhalten dann y1=0,72+2,4+6 und
y1=9,12 und haben den Schnittpunkt S1(0,6/9,12 herausbekommen.
Berechnung
von y2: Wir setzen hierfür x2 in eine der beiden Funktionsgleichungen
ein, nehmen wir y2. Damit erhalten wir y2=-3*(-1)²+6*(-1)+9 und
y2=3-6+9, das Ergebnis lautet dann also y2=6. Wenn du noch Fragen haben
solltest, stehe ich dir gerne zur Verfügung,
Gruß rofl07
du setzt die zwei gleichungen gleich sprich -2X^2+2X+28= 2X^2+4X-2 und dann lösst du nach x auf das ergebniss ist der x wert des punktes und wenn du dann den x wert in eine der gleichungen einsetzt bekommst du den y wert mit der geraden ist das das gleiche prinzip
Wenn du richtig gerechnet hast, dividierst du die Gleichung durch (- 4) und wendest die pq-Formel an. Dann erhaltst du automatisch die Lösungsmenge.
Habe gerade probiert es aufzulösen und bin jetzt bei -4X^2-2X+30=0 angekommen.. Wie geht es nun weiter?