Drei zufällige Punkte auf einem Kreis?
Die Aufgabe lautet: Wenn man drei Punkte zufällig auf einem Kreis verteilt und diese miteinander verbindet, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fläche den Mittelpunkt berührt?
Meine Antwort war 50%, da es entweder ein stumpfwinkliges Dreieck ist und im Umfeld des Mittelpunktes liegt oder es ist ein recht-/spitzwinkliges Dreieck, wobei der Mittelpunkt IM spitzwinkligen Dreieck wäre und das rechtwinklige Dreieck würde AUF dem Punkt liegen. Diese Antwort ist jedoch falsch. Könnte mir da jemand helfen? :)
4 Antworten
Wo der erste Punkt liegt, ist vollkommen egal. Wenn du jetzt, für einen festen zweiten Punkt, die Wahrscheinlichkeit berechnen kannst, dass der Mittelpunkt drin ist, könntest du die Wahrscheinlichkeit ganz einfach mit einem Integral berechnen.
Der schwierige Teil ist es also, sich für 2 feste Punkte die Wahrscheinlichkeit zu errechnen, mach dir dazu am besten eine Skizze.
Hallo,
ziehe einen senkrechten Durchmesser durch den Kreis. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Punkt links vom Durchmesser liegt, liegt bei 1/2, ebenso die Wahrscheinlichkeit, daß er rechts davon liegt.
Der Kreismittelpunkt liegt nur dann in der Dreiecksfläche, wenn nicht alle drei Punkte auf der gleichen Seite des Durchmessers liegen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß alle drei auf der linken Seite liegen, beträgt (1/2)^3,
also 1/8. Die gleiche Wahrscheinlichkeit hast Du, daß alle drei rechts vom Durchmesser liegen.
1/8+1/8=1/4.
Die Wahrscheinlichkeit, daß der Mittelpunkt nicht Bestandteil der Dreiecksfläche ist, liegt also bei 1/4. Somit muß das Gegenereignis: Mittelpunkt liegt im Dreieck,
1-1/4=3/4 als Wahrscheinlichkeit besitzen.
Herzliche Grüße,
Willy
"Der Kreismittelpunkt liegt nur dann in der Dreiecksfläche, wenn nicht alle drei Punkte auf der gleichen Seite des Durchmessers liegen."
Das stimmt so nicht. Korrekt wäre es zu sagen, dass der Mittelpunkt nicht drin liegt, wenn es eine Möglichkeit gibt, den Kreis in 2 hälften zu Teilen, sodass alle in der selben hälfte liegen. Das ist etwas anderes.
Aber eigentlich müssen wir die Whrscheinlichkeiten ja einzeln berechnen.
Demnach ist es dem ersten Punkt egal wo er landet.
Dem zweiten Punkt auch.
Und der dritte Punkt darf nur nicht in der selben Hälft landen, also eine Wharscheinlichkeit von 0,5...
Was die gleiche Hälfte ist, ist aber nicht festgelegt, da die Lage des Durchmessers nicht vorgegeben ist. Es gibt unendlich viele Kreisdurchmesser - und irgendeinen kannst Du immer zwischen zwei Punkten hindurchziehen.
Hm...
Dann sollte man es evtl. über die Winkel zum Mittelpunkt versuchen...
Wenn der Winkel eines der Punktes zum Winkel eines anderen Punktes >=180° ist, dann geht die Fläche durch den Mittelpunkt...
Sprich bei Punkt 1 und Punkt 2 haben wir 100% Chance, da diese überall leigen können.
Beim dritten punkt kommt nur die Hälfte der Winkel in Betracht.
Welche das ist, ist abhängig von den vorherigen Punkten.
Es ergibt sich also eine bedingte Wahrscheinlichkeit, bei der jeder einzelne Pfad die Wahrscheinlichkeit 1/unendlich * (1/undendlich-1)*0,5 hat.
Wobei mir auffällt, dass das auch nicht ganz stimmt, denn die Koordinate ist ja zweidimensional...
Wobei das wohl durch die Unendlichkeit geregelt ist, denn bei dieser kommt es ja auf die Definition an, die zweidimensional sein kann...
Gesamt wären demnach alle korrekten Lösungen die Hälfte der Endpfade und somit die Whrscheinlichkeit 0,5;
Hab mir das Video angeschaut und einen Denkfehler entdeckt...
Denn mehr als 180° wären ja weniger als 180° in die andere Richtung.
Demnach wäre es so nicht möglich, das Problem zu lösen.
Du könntest versuchen, es mit Bögen und Sehnen zu lösen.
Zwei beliebige Punkte ergeben immer eine Kreissehne.
Ziehst Du von den Endpunkten der Sehne zwei Linien durch den Kreismittelpunkt, ergeben die Schnittpunkte auf der anderen Seite mit dem Kreis eine kongruente Sehne.
Nur wenn der dritte Punkt auf dem Bogen über dieser Sehne liegt, berührt die Kreisfläche den Mittelpunkt.
Es müsste genau ein Punkt auf der anderen Hälfte des Kreises liegen wie mindestens ein anderer Punkt.
Die Wahrscheinlichkeit wäre demnach
1*0,5=50%;
Allerdings muss man auch noch ausschließen, dass die drei Punkte auf einer Linie liegen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür wäre aber rein mathematisch quasi 0...
Ich könnte auch einen Denkfehler drinnenhaben...
Ein Kreis ist ja zweidimensional...
Ich verstehe nicht ganz, wieso die Wahrscheinlichkeit rein mathematisch 0 wäre. Könntest Du es mir vielleicht erklären? :)
Ok...
Ersteinmal die Wahrscheinlichkeit, das bei zwei zufälligen Punkten eine Linie durch die Kreismitte geht.
1* 0,5*1dunendlich/2dunendlich...
Nun, die Wahrscheinlichkeit, das ein Punkt auf dem anderen liegt wäre 1/unendlich und somit quasi 0...
Ich denke aber, hier spielen verschiedene Unendlichkeiten eine Rolle...
Hoffentlich meldet sich noch einer von den Matheexperten zu Wort...
Die drei Punkte können auf beide Hälften des Kreises verteilt sein, und die Fläche kann trotzdem nicht den Mittelpunkt berühren...
Die Punkte sind alle auf einer Hälfte...
http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=7239c5-1533126207.png
Der (empfehlenswerte) Youtuber 3Blue1Brown hat das Problem (und sogar die 3d-Version) schon mal präsentiert, mit schönen Erklärungen und Visualisierungen:
https://www.youtube.com/watch?v=OkmNXy7er84&t=115s
Die richtige Antwort ist 1/4.
Ab 5:42 gibt er noch eine weitere, sehr schöne Erklärung.
1/4 ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Fläche den Mittelpunkt nicht berührt.
Ich denke das ist ganz kompliziert mathematisch...
Man denke z.B. mal daran, wie hoch wohl die Wahrscheinlichkeit wäre, das bei zwei Punkten die Verbindungsgerade durch den Mittelpunkt verläuft...
Da würde man ja bei irgendwelchen unendlichkeiten herauskommen...
Aus (alle drei Punkte auf einer Seite) folgt (Mittelpunkt nicht im Dreieck).
Die Umkehrung gilt jedoch nicht.
Es kann sein, dass Punkte rechts und links vom gezeichneten Durchmesser liegen und der Mittelpunkt trotzdem nicht im Dreieck liegt.
Daher funktioniert dein Ansatz nur um einzusehen, dass die gesuchte Wkt kleiner (oder gleich) 3/4 ist.