Differenzialrechnung in Sachsituationen-Hilfe?
Ich habe diese Aufgabe fast richtig gelöst aber als ich in die Lösungen geschaut habe ist mir aufgefallen das ich bei der letzten Teil Aufgabe das mit der stärkste zu und stärksten Abnahme nicht richtig gelöst habe aber ich verstehe auch nicht was ich da noch machen sollte. Ich verstehe die Lösung nur teils. Kann mir jemand bitte helfen??? Danke im Vorraus!!
anbei mein Anfang + Lösung + Buchseite
2 Antworten
Bei Aufgabenteil b) hast du mit f''(x) die Extremstellen der ersten Ableitungsfunktion berechnet. Gefragt war aber nach den Extremstellen der Funktion f. Dazu musst du die Nullstellen der ersten Ableitung finden.
Zur Erinnerung: Die erste Ableitung der Funktion f gibt ihre Steigung am jeweiligen Punkt an. An Extremstellen ist die Steigung (also die Ableitung) gleich null. Daher suchen wir alle x, die die Gleichung f'(x) = 0 erfüllen.
Zu Aufgabenteil c)
Wie du schon richtig erkannt hast, gibt die Wendestelle einen Punkt der (lokal, um den Wendepunkt) stärksten Steigung an. Der Wendepunkt ist die Nullstelle der zweiten Ableitung, und gleichzeitig der Hoch- oder Tiefpunkt der ersten Ableitung. Wie auch bei Aufgabenteil b) sollte sicherheitshalber geprüft werden, ob der Wendepunkt im Definitionsbereich liegt. Nun muss man beachten, dass die Funktion nicht auf den gesamten Reellen Zahlen definiert ist, sondern nur zwischen 0 und 6. Das bedeutet, dass wir uns zusätzlich noch die Randstellen (0, 6) genauer anschauen müssen, wie es dort mit der Steigung aussieht.
Die Steigung beurteilen wir wieder anhand der ersten Ableitung. Diese hat bei t=0 ihr Maximum. Bedeutet also, hier liegt die größte Steigung vor, bzw. im Sachkontext: Hier nimmt die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten zu.
Bei t=6 hat die erste Ableitung einen Wert von null, also keine Steigung bzw. keine Änderung der Durchflussgeschwindigkeit.
Die Formulierung "stärkste Zunahme/Abnahme" heißt stets: Bestimme den/die Wendepunkte.
Warum?
Die Zunahme/Abnahme wird beschrieben durch die 1. Ableitung. Die stärkste "Zunahme/Abnahme" ist dann das Maximum/Minimum der Zunahme/Abnahme, also ein Extremwert der 1. Ableitung. Damit musst Du dann die Nullstellen der 1. Ableitung der 1. Ableitung = 2. Ableitung bestimmen. Und das ist genau das Kriterium zur Bestimmung der Wendepunkte.
Und dann gibt es noch die Betrachtung der Randwerte. Dazu schaue Dir die Steigung bei t=0 an.