Berechnung Kreisabschnitt?
Ich habe nur die Sehnenlänge l und die Bogenlänge lB und muss den Radius r ausrechnen. Hat jemand eine Idee welche der Formeln ich wie umstellen muss?
3 Antworten
Hallo HomerDD,
es ist in jedem Fall sinnvoll, α im Bogenmaß (bzw. Radian) anzugeben statt in der zwar geläufigen, hier aber lästigen Hilfseinheit ‘°’.
Schon wird dann nämlich aus
einfach
was quasi die Definition des Winkels α im Bogenmaß darstellt.
Außerdem ist d als Variable überflüssig wie ein Kropf, weil d≡2r ist. In einer einzigen Formel sowohl d als auch r auftreten zu lassen, ist ziemlicher Murx.
Die erste Flächenformel würde somit lauten:
Sie wird Dir nicht weiterhelfen, da Du b nicht kennst - und α auch nicht.
Allerdings kennst Du l und l_B, und dadurch kannst Du Dir α näherungsweise beschaffen:
Diese Funktion wird auch Kardinalsinus oder Spaltfunktion genannt, weil sie als Intensitätsverteilung bei der Beugung am Einzelspalt auftritt.
Die Funktion ist auf dem Intervall [0,π] streng monoton fallend und daher im Prinzip auch umkehrbar, aber leider finde ich keinen Funktionsterm für die Umkehrung. Daher wirst Du dasjenige α suchen müssen, dessen si(…) Dir das richtige Verhältnis zwischen Sehnen- und Bogenlänge liefert.
Dann hast Du allerdings auch gewonnen, denn dann brauchst Du nur noch in (1.2) nach r aufzulösen:
Übrigens kannst Du Dir α von Wolframalpha angeben lassen. Angenommen, Du bekommst l/l_B=0.9, dann gibst Du dort
sin(α/2)/(α/2) = 0.9
ein und erhältst als Output als positive Lösung
α ≈ 1.57337
…, was etwa π/2 oder 90° entspricht. Dadurch musst Du dann l_B nur noch teilen.
du hast l und lB
du nimmst die 2. Flächenformel A= (lB • r - l(r-b))/2 und noch A = 2/3 l • b (die steht in deiner Übersicht nicht)
dann gleichsetzen
und Pythagoras
(r-b)² + (l/2)² = r²
mit den Gleichungen müsstest du b und r berechnen können.
...und noch A = 2/3 l • b (die steht in deiner Übersicht nicht)
Und das aus gutem Grund. Es mag einen geeignetem Mittelpunktswinkel α geben, für den das zufällig so ist, aber generell stimmt das nicht.
Setzen wir „spaßeshalber“ α=180°, dann ist
A = (π/4)r² ≡ (π/4)l·b > ⅔l·b.
Im anderen Extremfall sehr kleiner α ist die Bogenlinie fast gerade und
A → ½l·b.
"Gleichsetzen"? Sorry, ich bin Chemiker und ich kann mit Stöchiometrien, pH-Werten, Drücken, Mischungen, Mengen-, Volumen und Gewichtsanteilen usw. rechnen; der Pythagoras ist mir auch klar, aber Geometrie war noch nie meins!
Es ist auch keine Hausaufgaben oder so, die Rundung ist an einem Aquarium vorn dran und ich brauche den Radius für den Stahlbauer, der das Untergestell bauen soll.
Danke für die Antwort, bringt mir jetzt aber trotzdem nicht viel.
Dir fehlt noch eine Angabe zum berechnen.
Entweder b oder Alpha
Die habe ich leider nicht. Nur l und lB...
Das ist ja das Problem.
Gehen tut es schon. Aber nur durch eine Näherungsrechnung, weil der gesuchte Radius einmal als Faktor und einmal im Argument einer Winkelfunktion auftritt.
Entweder läßt man den Rechner ran oder versucht es über das Newton-Verfahren.
Man kann sich auch an das Ergebnis durch Probieren herantasten.
Keine Ahnung, wieso hier notorisch die Bruchstriche verschwinden (zumindest sind sie bei mir nicht sichtbar).