λ Eigenwert von A => λ^m EW von A^m?

Hallo! Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe

Es macht total Sinn! Und ich versteh auch den Gedanken:

Av=λv

A^2v=AAv=Aλv=λAv=λ^2v.

Aber ich kriege es ned hin, das allgemein aufzuschreiben. D: Induktionsbeweis muss man ned machen, oder?

+ Ich habe garkeine Ahnung was GLnK damit zu tun hat :( Könnte mir wer weiterhelfen?

Danke fürs Lesen und ALLGEMEIN AN DIE COMMUNITY immer super Hilfe <3

Answer 1

[DerRoll]

Induktion ist halt am schnellsten. Für den Eigenvektor x zum Eigenwert lambda gilt:

$A^n*x = A*(A^{ n-1 }x) = A*\lambda^{ n-1 }x = \lambda^{ n-1 }Ax = \lambda^{ n }x$

Comments

[Nordwendekreis]

Okay, danke! Und was hat GLnK mit der ganzen Sache zu tun? Wegen Existenz von A^-1 vielleicht?

[DerRoll]

@Nordwendekreis

Da ich eure Definitionen nicht zur Verfügung habe weiß ich nicht mal was das ist.

[Nordwendekreis]

@DerRoll

Allgemeine Lineare Gruppe

Answer 2

[eterneladam]

Für allgemeines A hast du ja die Lösung von DerRoll.

Wenn A invertierbar ist, dann ist lambda ungleich Null und es gilt

v = A^(-1) A v = A^(-1) lambda v, also

A^(-1) v = lambda^(-1) v.

Nun kannst du wieder mit Induktion arbeiten.

Answer 3

[W00dp3ckr]

Was Du da schreibst ist ja schon fast eine vollständige Induktion. Musst nur n und n+1 statt 1 und 2 im Exponenten nehmen.

Und wenn die Matrix invertiert werden kann geht der Beweis wahrscheinlich in die andere Richtung.