Was genau verstehen Physiker unter einem "Tensor"?
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... und warum scheinen Mathematiker diesen Begriff nicht gebrauchen zu wollen?
4 Antworten
Es gibt verschiedene Zugänge, die letztendlich gleichwertig sind. Man kann Tensoren als mulitlineare Abbildungen sehen und definieren. Oder als Grössen, die ein bestimmtes Verhalten unter Koordinatentransformationen zeigen (dieses Verhalten bewirkt, dass tensorielle Grössen auf einer Mannigfaltikeit unabhängig sind von der lokalen Koordinatendarstellung/Karte).
Weshalb meinst Du, dass Mathematiker den Begriff des Tensors nicht gebrauchen würden? Tensor(-felder) sind essentiell in der Differentialgeometrie.
Zusätzlich zur Antwort von Hamburger sind Tensoren schlicht Abbildungen die viele Vektoren auf einen Vektor abbilden je nachdem von welcher Stufe sie sind.
Sie sind also quasi lineare Abbildungen und dabei koordinaten Unabhängig. Wenn man sie bezüglich einer Vektorraumbasis darstellt erhält man für Tensoren 0ter Stufe Skalar, Tensoren erster Stufe Vektoren für einen (0,1) Tensor ist das ein Zeilenvektor für einen (1,0) Tensor ein Spaltenvektor und Tensoren 2ter Stufe Matrizen. Tensoren 3ter Stufe haben dann kein Äquivalent mehr.
Die Tensoren wurden in der Physik gebildet und sind daher rein auf die Anwendung in dieser hin definiert, nicht aber komplett wie es Mathematiker wollen, daher wird der Begriff dort oft nicht verwendet. Es gibt allerdings Mathematiker die den Tensor auch mathematisch sauber definieren wollen.
Tensoren sind ein durch und durch mathematisches Konzept, welches in verschiedenen Bereichen der Physik (und auch ganz besonders in der Allgemeinen Relativitätstheorie) praktische Anwendung findet.
Ich weiß nicht, von welcher Art von Mathematikern du sprichst. Ich selber bin Mathematiker und habe vor Jahrzehnten im Studium auch theoretische Physik mit diesem ganzen Apparat studiert. In meiner folgenden Tätigkeit als Gymnasiallehrer hatte ich allerdings nie mehr mit komplexeren Tensoren zu tun, und für meine Schülerinnen und Schüler wäre dies auch ein zu schwieriges Thema gewesen. Auf diese Themen treffen junge Leute in der Regel erst in einem (Mathematik- , Physik- oder Ingenieur- ) Studium an der Hochschule.
Die Tensor-Mathematik wurde übrigens ursprünglich nicht von Physikern "erfunden", sondern schon ein paar Jahrzehnte vor Einstein von Bernhard Riemann und einigen weiteren Mathematikern.
Physik und Mathematik stimmen insofern überein, dass sie für bestimmte Objekte, Abbildungen bzw. Kategorien die Begriffe Skalar, Vektor oder Matrix verwenden.
Alles was in diese Kategorien nicht hineinpasst, sozusagen durch seine Komplexität noch darüber steht, packen die Physiker zusätzlich in den Begriff "Tensor" hinein. Das kann also im Prinzip alles und nichts bedeuten.
Wenn Physiker also von Tensor sprechen, dann meinen sie Skalare oder Vektoren oder Matrizen oder alles zusätzliche, das keinen speziellen Namen hat. Dieses Vorgehen ist enorm praktisch, für <msthematiker aber nicht geeignet, da es gleichzeitig ziemlich unpräzise ist. Benötigt wird die Erweiterung der Bedeutung vor allem dazu, um physikalische Gesetze koordinatenunabhängig zu formulieren.
Irgendwelche verwaschenen Dinge, die zwar im Alltag funktionieren, aber der Strenge der Mathematik widerpricht, ist Mathematikern ein wahres Gräuel. Daher halten sie sich vom Tensor der Physiker eher fern.
Ist es nicht vielleicht so, dass die von Einstein eingeführte Summen-Notation (und Regeln, die dafür gelten) Mathematikern ein Gräuel ist.
Letztlich scheint Tensoranalysis doch einfach nur Anwendung linearer Algebra zu sein. Oder liege ich falsch mit meiner folgenden Meinung:
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Als Tensor bezeichnet man eine lineare Abbildung f: LR1 --> LR2, wo
LR1 und LR2 Räume linearer Abbildungen zwischen gegebenen linearen Vektorräumen R1 und R1 sind mit gewissen Eigenschaften, die jene Abbildung dann als kovariant oder kontravariant einordnen.
Wie jede andere lineare Abbildung auch, lässt sich ein Tensor dann (relativ zu fest gewählter Basis der beiden linearen Räume R1 und R2) als Matrix darstellen.