Darf Polizei einfach jeden untersuchen?

In aller Regel ist das von der Örtlichkeit abhängig. Nach Polizeirecht, nach dem die meisten solcher Kontrollen stattfinden, gibt es sog. Gefährliche Orte. Diese sind z.B. Haltestellen des ÖPNV, Hauptbahnhof, Borderline, Spielotheken etc sowie deren nächste Umgebung. Dort sind rechtlich Identitätsfeststellungen und auch Durchsuchungen von Personen und mitgeführgen Sachen möglich. Ebenso können Polizeibehörden (mit Begeündung) entsprechende Zonen festlegen, in denen diese erweiterten Voraussetzungen gelten.

Innerhalb der genannten Bereiche kann jede Person ohne besonderen Anlass derart überprüft werden, Alter, Geschlecht und vermeintliche! Staatsangehörigkeit spielen da keine Rolle.

Wenn eine entsprechende Rechtsgrundlage vorliegt, dürfen sie es. Welche Rechtsgrundlage im Einzelfall vorliegt, wirst du die entsprechenden Beamten fragen müssen.

Nein, kommt schon auf die Begründung an.

nein dürfen sie nicht, es muss eine begründung vorhanden sein oder eine zone die sowas erlaubt (soweit ich weiß zB in waffenfreien zonen möglich)

Hoheitsrechtliche Befugnis, schon mal gehört? In der Regel haben Polizeibeamte eine Rechtsgrundlage für ihr Handeln (Landes- /Bundespolizeigesetz).