Zusammenhang, Änderungsrate, Mathematik?
Kann mir jemand den Zusammenhang zwischen den beiden differenzenquotienten erläutern?
A) B(t2)-B(t1) /t2-t1
Das ist ja das selbe wie y2-y1. /x2-x1
B) B(t+h)-B(t) /h
H soll die Zeitspanne beschrieben da es um den bevölerkerungswachtum geht.
2 Antworten
Ja, das ist richtig. Beide Differenzenquotienten sind gleich, wenn man die Variablen y und x durch B und t ersetzt.
In A) wird die Differenz der beiden Funktionswerte B(t2) und B(t1) durch die Differenz der beiden Zeitpunkte t2 und t1 dividiert. Dies entspricht der Steigung der Sekante, die durch die beiden Punkte (t1, B(t1)) und (t2, B(t2)) verläuft.
In B) wird die Differenz der beiden Funktionswerte B(t+h) und B(t) durch die Zeitspanne h dividiert. Dies entspricht der Steigung der Tangente, die durch den Punkt (t, B(t)) verläuft.
In deinem Beispiel geht es um das Bevölkerungswachstum. B(t) ist also die Bevölkerungszahl zu einem Zeitpunkt t. In A) wird also die Differenz der Bevölkerungszahlen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2 durch die Differenz der beiden Zeitpunkte dividiert. Dies entspricht der mittleren Wachstumsrate der Bevölkerung zwischen den beiden Zeitpunkten.
In B) wird die Differenz der Bevölkerungszahlen zu einem Zeitpunkt t und einem Zeitpunkt t+h durch die Zeitspanne h dividiert. Dies entspricht der momentanen Wachstumsrate der Bevölkerung zu einem Zeitpunkt t.
Der Unterschied zwischen den beiden Differenzenquotienten ist also, dass A) die mittlere Wachstumsrate und B) die momentane Wachstumsrate angibt.
In deinem Beispiel ist h eine kleine Zeitspanne. Wenn h gegen 0 geht, dann nähert sich der Differenzenquotient B(t+h)-B(t)/h der Ableitung B'(t) an. Die Ableitung B'(t) gibt die momentane Wachstumsrate der Bevölkerung an jedem Zeitpunkt t an.
Daher kann man B(t+h)-B(t)/h als eine Näherung für die Ableitung B'(t) verwenden.
Janz easy : t2 - t1 hat man kurz zu h definiert , h steht nun für eine Differenz von Zeitpunkten ( theoretisch könnte man den Zähler auch in H umbennen , was dann für die Differenz zwei Fkt-Werte ( y - Werte ) stünde
.
A) B(t2)-B(t1) /t2-t1
(((((( Das ist ja das selbe wie y2-y1. /x2-x1 ))))) Jepp ! eine (pos oder neg ) Steigung ( auch unverändert m = 0 wäre denkbar
B) B(t+h)-B(t) /h
PS
Man findet für y2-y1. /x2-x1 auch delta-y/delta-x ............d elta wie D ifferenz, wobei dann für delta die griechischen Buchstaben genutzt werden
