Zufall und Wahrscheinlichkeiten(Mathe)?
Hey Leute, es geht um viel. Wenn ich diese Aufgabe richtig löse, bekomme ich 5+e bei meinem Lehrer. Die Aufgabe ist:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus meiner Klasse, 3 zufällig ausgewählte Schüler im Mai Geburtstag haben? (in unserer Klasse sind 27 Schüler)
ich habe schon mal so gerechnet:
1/12 • 1/12 • 1/12 = 3/1728 ≈ 0,17%
0,0017 • 27 ≈ 4,6%
Ist das richtig? Muss ich noch weiter rechnen? Wenn es falsch ist, wie rechnet man das dann?
6 Antworten
Der Rechenweg in der oberen Zeile ist richtig, ich komme aber auf ca. 0.0571787 % (Ich hab die Dezimalzahl für ein Zölftel stark verkürzt wegen umständlichem Smartphone Rechner). Vermutlich waren deine Schrägstriche als Geteiltzeichen und nicht als Bruchstriche gemeint, dann ist die Rechnung aber falsch geklammert und hat eine ganz andere Bedeutung.
Dann multiplizierst du hier mit 27. Warum? Man wählt doch nur einmal drei zufällige Schüler!
Danke für den Stern, ich fühle mich geehrt :)
Beachte aber bitte auch die Diskussion, die der Antwort von Willy1729 angehängt ist!
Liebe Grüße
Hallo,
die Berechnung ist möglich, aber sehr aufwendig, geht aber nach einiger Überlegung auch ganz simpel.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Mensch überhaupt im Mai Geburtstag hat, liegt bei 8,94 % (31/365), denn der Mai hat 31 von 365 Tagen im Jahr, wobei die Schaltjahre einmal außen vor bleiben. Die werden durch die leichte Abrundung von 31/365 auf 8,94 % ausgeglichen.
Nun hängt es davon ab, wie viele der 27 Kinder im Mai Geburtstag haben. Sind es weniger als 3, ist es unmöglich, drei im Mai Geborene auszuwählen. Sind es alle 27, ist es sicher, daß die drei zufällig Gewählten im Mai Geburtstag haben.
Du mußt also alle Fälle von 3 bis 27 durchspielen, indem Du die Binomialverteilung und die hypergeometrische Verteilung miteinander kombinierst.
Nimm an, genau drei Schüler sind im Mai geboren.
Dann liegt die Wahrscheinlichkeit, daß genau diese drei zufällig ausgewählt werden, bei [(3 über 3)*(24 über 0)]/(27 über 3)=0,00034 oder 0,034 %.
Das muß noch multipliziert werden mit der Wahrscheinlichkeit dafür, daß genau drei Schüler im Mai Geburtstag haben, also (27 über 3)*(31/365)^3*(334/365)^24=0,2129 oder 21,29 %. Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von
0,0000728 oder 0,00728 %.
Das ist aber nur die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer Klasse von 27 Schülern genau drei im Mai Geburtstag haben und genau diese drei zufällig ausgewählt werden.
So muß nun auch für 4 bis 27 Schüler gerechnet werden und alle Ergebnisse addiert. Im Fall vier sieht es so aus:
{[(4 über 3)*(23 über 0)]/(27 über 3)}*(27 über 4)*(31/365)^4*(334/365)^23=0,016 % usw.
Das sind 25 Einzelberechnungen, deren Ergebnisse anschließend addiert werden müssen.
Das gilt dann aber nur unter der Voraussetzung, daß sich die Geburtstage wirklich völlig gleichmäßig auf die Menschen verteilen und es nicht etwa mehr im Mai Geborene als im Dezember Geborene oder weniger gibt.
Wie ich im Kommentar geschrieben habe, läßt sich die Berechnung über die Summenfunktion des Rechners bewerkstelligen.
Es geht aber auch wesentlich einfacher:
Wenn die Klasse ein Abbild einer Bevölkerung ist, in der alle Geburtstage gleichmäßig verteilt sind, liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Schüler im Mai Geburtstag hat, bei (31/365).
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß drei zufällig ausgewählte Menschen im Mai Geburtstag haben, liegt dann bei (31/365)^3, wobei die Größe der Klasse keine Rolle spielt und man sich die ganzen Einzelberechnungen sparen kann.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe es über die Summenfunktion meines Taschenrechners für k=3 bis k=27 berechnet und kam auf die Gesamtwahrscheinlichkeit von 0,061264 %.
Das entspricht (31/365)^3.
Klingt richtig, aber echt kompliziert ^^ In der Aufgabe steht ja, aus der Klasse vom FS, vielleicht muss der Fragesteller ja wissen, wie viele in seiner Klasse im Mai Geburtstag haben? So wäre es zumindest etwas einfacher
Siehe meinen Nachtrag zur Antwort und meinen Kommentar. Letztlich genügt es (31/365)^3 zu rechnen und sich den Rest zu ersparen.
Wenn die Anzahl der im Mai Geborenen bekannt wäre, ginge es ganz einfach über die hypergeometrische Verteilung und es wäre mit einer Berechnung getan.
Ist sie unbekannt und geht man von einer gleichmäßigen Verteilung aus, genügt es (31/365)^3=0,06126 % zu rechnen.
Zugegeben, die Anzahl der Tage zu nehmen, macht die Rechnung präziser. Der Rest ist doch aber unnötig. Du nimmst beispielhaft an, dass drei Schüler der Klasse im Mai Geburtstag haben. Wenn wir dies aber wüssten, nur dann wäre die Rechnung komplizierter. Auch wenn das vielleicht kontraintuitiv ist. Wenn wir wissen, wieviele aus der Klasse im Mai Geburtstag haben, dann müssen wir dieses Wissen in die Rechnung miteinbeziehen und nur dann wird es derart kompliziert. Wir wissen es aber zum Glück nicht.
Es sei denn der Mathelehrer hatte es so gemeint. Oh dann wird es tatsächlich schwierig und Trollmo muss womöglich in Erfahrung bringen, wieviele im Mai Geburtstag haben und dann eine kompliziertere Rechnung vornehmen...
Wie ich im Nachsatz zu meiner Antwort geschrieben habe und auch im Kommentar, genügt es, (31/365)^3 zu rechnen, wenn man von einer gleichmäßigen Verteilung der Geburtstage auf die Tage im Jahr ausgeht.
Beide Berechnungen führen zum exakt gleichen Ergebnis.
Ist natürlich die Anzahl der im Mai Geborenen bekannt, kann man es einfach über die Formel der hypergeometrischen Verteilung berechnen.
Die Berechnung über die Einzelsummen ist möglich, aber völlig unnötig.
Wenn Du Deinen Rechner zum Rödeln bringen willst und er eine Summenfunktion sowie die Möglichkeit hat, Binomialkoeffizienten (nCr-Taste) zu berechnen besitzt, gibst Du folgendes ein (mein Rechner ist der Casio 991DE X):
SUMME (x=3 bis x=27): [((x nCr 3)*((27-x) nCr 0))/(27 nCr 3)]*(27 nCr x)*(31/365)^x*(334/365)^(27-x), wobei manche der Klammern im Rechner nicht gesetzt werden müssen.
Hey, sollen es genau drei oder mindestens drei sein? LG
Drei zufällig ausgewählte Schüler, nicht ob es in der gesamten Klasse drei gibt.
Ich möchte mal die Binomialverteilung in das Blickfeld dieser Diskussion werfen.
Formel:
Dabei ist definiert n über k als
Nun ist p = 1/12 und X,k = 3 und n = 27
Das gilt dann wenn genau 3 Personen im Mai Geburtstag haben.
Warum kommt in deiner Rechnung die Zahl 27 vor? Es ist doch viel simpler: man wählt ein Mal aus den 27 Schülern drei zufällige aus! Es entspricht also der Wahrscheinlichkeit, ein Mal mit drei Zwölferwürfeln zu würfeln und dabei drei 5er zu bekommen.
Es sind 0,17%, wie viele Leute in der Klasse sind, ist irrelevant.
Diese / Zeichen bedeuten bei mir Bruchstriche. Das mit der 27 hab ich wohl falsch überlegt