Woran erkenne ich in der Gleichung f(x) = 2x^5 - x^3 ob sie punktsymmetrisch ist?
8 Antworten
In der Schule wird gewöhnlich nur Symmetrie bezüglich der x-Achse und des Ursprungs geprüft. Wenn du das ganz meechanisch beides hintereinander tust, klappt es hervorragend. Man fängt mit der Achsensymmetrie an. Ist sie vorhanden, kann man natürlich aufhören. Sonst gleich Punktsymmetrie hinterher.
Erfahrungsgemäß sind die meisten Funktionen nicht symmetrisch.
Schritt 1: Achsensymmetrie f(x) = f(-x)
Vorgehensweise: für jedes x ein (-x) schreiben.
f(-x) = 2 * (-x)⁵ - (-x)³
f(-x) = 2 (-x⁵) - (-x³)
f(-x) = - 2x⁵ + x³ ≠ f(x)
also nicht achsensysmmetrisch
Schritt 2: Punktsymmetrie f(x) = -f(-x)
Vorgehensweise: Letzte Form von eben nehmen und
- davorschreiben
-f(-x) = - (- 2x⁵ + x³)
-f(-x) = 2x⁵ - x³ = f(x)
also punktsymmetrisch zum Ursprung
Ich verstehe, was Du meinst; ich moechte nur um ein bisschen Vorsicht bei der Formulierung werben:
f(x)=0 ist eine Potenzfunktion (https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion), die oben genannte Funktion ist keine Potenzfunktion, aber immerhin noch eine Polynomfunktion (https://de.wikipedia.org/wiki/Ganzrationale_Funktion). Streng nach Definition ist es also nicht richtig, dass eine Polynomfunktion/Potenzfunktion entweder gerade oder ungerade ist.
Die Nullfunktion ist die einzige Funktion, die beides zugleich ist. Das von Dir oben beschriebene Verfahren ("[...] kann man natürlich aufhören") muesste man um diese Ausnahme erweitern, damit es wasserdicht ist.
Sie hat nur ungerade Potenzen.
f(-x) = -f(x) ist eine etwas allgemeinere Bedingung. Es ist hinreichend, aber nicht notwendig.
In diesem Fall:
f(-x) = 2(-x)^5 - (-x)^3 = -2x^5 + x^3 = -(2x^5 - x^3) = -f(x)
Eine hinreichende Bedingung ist erfüllt, also f(x) ist eine punktsymmetrische Funktion gegenüber dem Koordinatenursprung.
Für Punktsymmetrie zum Ursprung ist die Bedingung notwendig und hinreichend, denn es ist ja die Definition :)
Das stimmt - wollte hier nur eventueller Verwirrung vorbeugen, weil Du das nicht explizit erwaehnt hattest :)
Die gleichung besitzt nur Terme mit ungeraden Exponenten. Ebenso kein Absolites glied.
Ungerade: x^3;x^5 z.b
Gerade: x^4;x^2 z.b
In dem Fall siehst du es daran sofort, dass es nur ungerde Hochzahlen gibt - deswegen heißen solche Polynome auch "ungerade Funktionen".
Eine Funktion kann achsen- und punktsymmetrisch sein :)