Woher weiß ich, durch welche Zahl ich bei der Polynomdivision teilen muss?
Nullstellenbestimmung (Optimierung)
Ich habe jetzt z.B. 3x^4 + 7x^3 +1
Woher soll man bitte die Zahl nehmen, durch die man teilen muss?
5 Antworten
Division durch (x - nullstelle). Das muss aufgehen, denn im Prinzip faktorisierst du. Polynom vorher mit Grad n ist Polynom nachher mit Grad n -1 mal (x - nullstelle). Damit ist klar, dass, beim Einsetzen der Nullstelle für x auf beiden Seiten null herauskommt (links hattest du die nullstelle ja geraten, rechts sorgt der Faktor (nullstelle - nullstelle) = 0 dafür, dass das Produkt null wird.
TIPP : Besorge dir einen Graphikrechner (Casio),wie ich einen habe.Damit rechnest du jede Aufgabe und die Dinger verrechnen sich nie !!
Diese Kurve sieht aus ,wie ein U .Kommt von links oben und verschwindet nach rechts oben.
Nullstellen bei x1=- 2,3016 und x2=- 0,57439
und es ist ein Wendepunkt vorhanden (vielleicht auch gleichzeitig ein Sattelpunkt)
Wenn du keinen Rechner hast,musst du die Nullstellen raten.Setz für x1=- 3 und x2= - 1
Am Vorzeichenwechsel des Ergebnisses,siehst du ,das dazwischen eine Nullstelle liegen muss.
Dieses Ergebnis wird dann mit einen Näherungsverfahren verbessert.
Tangentenverfahren nach Newton x2=x1 - f(x1) /f´(x1)
Hier ist x1 = - 1 den du durch probieren ermittelt hast.
Das Ergebnis ist der verbesserte Wert x2 , der dann wieder in die Formel eingesetzt wird und so erhält man den Wert x3 ,der nochmals verbessert ist.
Dies Verfahren,wird so oft durchgeführt,bis die Genauigkeit ausreicht.
Es gibt auch noch das Verfahren nach "Regula falsi",siehe Mathe-Formelbuch.So ein Buch bekommst du privat in jeden Buchladen,z.Bsp. den "kuchling"
TIPP : Investiere nicht so viel Zeit in diese Aufgabe,weil dies reine Beschäftigungstherapie ist.
Kein Ingenieur rechnet heute sowas von Hand.Das Risiko von Rechenfehler wäre viel zu hoch.Eine Ingenieurstunde kostet ca. 100 Euro.Die rechnung von Hand wäre somit viel zu teuer.
Die Verfasser von Mathematikbüchern sind meist recht freundliche Menschen, die dir für eine Polynomdivision nicht ausgerechnet solche Aufgaben geben, die nicht aufgehen. (Es kann zwar trotzdem vorkommen, doch dann sollt ihr wohl gerade eine andere Methode neu lernen.) Das ganze Verfahren beruht darauf, dass alle Lösungen eines Polynoms als Produkt im Absolutglied auftauchen,
f(x) = x^4+2x³-13x²-14x+24 hat den Aufbau
f(x) = (x-x₁) (x-x₂) (x-x₃) (x-x₄)
Dabei sind die nummerierten x die Nullstellen, aber mit umgedrehtem Vorzeichen. Nun guckt man sich also 24 an und schreibt die Teiler auf:
1, 2, 3, 4, 6, 12, 24. Dazu kommen dieselben nochmal mit Minus davor.
x^4+2x³-13x²-14x+24 = 0 für die Nullstellen
Man fängt dann an zu probieren, und zwar mit der 1.
f(1) = 0
Glück gehabt, sofort ein Treffer.
Sonst wäre man mit -1, +2, -2 usw. weitergegeangen.
Aus Lösung +1 macht man den so genannten Linearfaktor (x - 1) und dividiert:
(x^4+2x³-13x²-14x+24) : (x - 1) = ...
Da kommt in diesem fall eine Gleichung dritten Grades heraus. Dann wiederholst du den Vorgang.
Die dann entstehende quadratische Gleichung löst du mit der p,q-Formel und hast dann alle Lösungen.
Schlechte Karten: Für x≥0 ist die Funktion positiv, bei -1 und -2 negativ, und für x≤-3 wieder positiv.
Die Nullstellen sind also irgendwelche krummen Werte zwischen -3 und 0. Raten ist da hoffnungslos.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3x^4+%2B+7x^3+%2B1
(Du musst den ganzen Link kopieren oder die Formel dort selbst eingeben)
Das Problem mit den Links kenne ich. Du kannst die Links entweder mit Seiten wie http://url-encoder.de/ vollständig chiffrieren oder URL-Umleitungsdienste verwenden. Bsp.: https://kurzelinks.de/
Du musst eine Nullstelle quasi raten bzw durch Probieren ermitteln
Richtig. Du musst die geratene Zahl halt erst verifizieren, dh einsetzen und schauen ob auch null rauskommt.
Also wenn ich glaube eine Nullstelle ist 2, muss ich dann durch x-2 teilen?