Wie wird hier umgestellt?
Hallo, ich habe ein Problem in Mathe:
Die originale Funktion lautet -2x^2+3x+10 und es sollen zwei Tangenten angelegt werden, die durch den Punkt 3/5,5 gehen, welcher außerhalb liegt.
Meine allgemeine Tangentengleichung wäre:
5,5=-4u+3*(3-u)-2u^2+3u+10
Die Lösung im Buch sagt allerdings:
5,5=(-4u+3)*3+2u^2+10
Wenn man dies auflöst geht es auch viel besser. Aber wo ist aus der allgemeinen Gleichung b=f'(u)*(a-u)+f(u) das -u aus der Klammer hingekommen und wo habe ich einen Fehler gemacht ?
3 Antworten
Dein Ansatz ist schon fast korrekt, aber der Fehler liegt in der Anwendung der allgemeinen Tangentengleichung.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
y=f‘(u)•(x-u)+f(u)
Hier ist:
f(u) der Funktionswert der Kurve an der Stelle u, f‘(u) die Ableitung der Funktion an der Stelle u und (x-u) die horizontale Verschiebung von x zum Tangentenpunkt u.
Für deine Funktion f(x)=-2x^2+3x+10 ist die Ableitung f‘(x)=-4x+3
Nun wollen wir die Tangentengleichung so aufstellen, dass sie durch den Punkt (3, 5, 5) verläuft.
Allgemeine Tangentengleichung:
Die Tangente hat an der Stelle u die Steigung f‘(u)=-4u+3 also lautet die Tangentengleichung:
y=(-4u+3)•(x-u)+f(u)
Setze für f(u) den Funktionswert der Parabel an der Stelle u ein:
f(u)=-2u^2+3u+10
Das ergibt die Tangentengleichung:
y=(-4u+3)•(x-u)+(-2u^2+3u+10)
Da die Tangenta durch den Punkt (3, 5, 5) verläuft, setzen wir x=3 und y=5,5 in die Gleichung ein:
5,5=(-4u+3)•(3-u)+(-2u^2+3u+10)
Jetzt zum Fehler in deinem Ansatz:
Du hast in deinem Ansatz die Ableitung falsch auf den Term angewendet. Konkret hast du fälschlicherweise ein -2u^2 zu viel in der Gleichung stehen. Der Term f‘(u)•(x-u) muss als Ganzes ausgeführt werden. Die korrekte Umformung ergibt:
5,5=(-4u+3)•(3-u)+(-2u^2+3u+10)
Nun zur Lösung im Buch:
Die Vereinfachung führt zu der Gleichung 5,5=(-4u+3)•3+2u^2+10
Dies ist im Wesentlichen die selbe Gleichung, nur anders gruppiert. Das Buch hat den Ausdruck schon etwas vereinfacht, indem es (-4u+3)•(3-u) ausmultipliziert und gruppiert hat was das selbe Ergebnis liefert.
Du hast also nicht wirklich etwas falsch gemacht, nur einen kleinen Umweg genommen!
Dein Ansatz war fast richtig, aber du hast beim Einsetzen der allgemeinen Tangentengleichung in deine Gleichung einen kleinen Fehler gemacht, der die Verwirrung verursacht hat. Lass mich dir Schritt für Schritt erklären, was passiert ist.
AusgangssituationDu hast die Funktion f(x)=−2x2+3x+10f(x) = -2x^2 + 3x + 10
f(x)=−2x2
+3x+10, und du sollst Tangenten finden, die durch den Punkt P(3,5,5)P(3, 5,5)
P(3,5,5) gehen.
Allgemeine TangentengleichungDie allgemeine Form der Tangentengleichung an einen Punkt uu
u lautet:
T(x)=f′(u)⋅(x−u)+f(u)T(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)
T(x)=f′
(u)⋅(x−u)+f(u)
wobei:
- f(u)f(u)
- f(u) der Funktionswert an der Stelle uu
- u ist, also f(u)=−2u2+3u+10f(u) = -2u^2 + 3u + 10
- f(u)=−2u2
- +3u+10,
- f′(u)f'(u)
- f′
- (u) die Ableitung der Funktion an der Stelle uu
- u ist.
Die Ableitung von f(x)=−2x2+3x+10f(x) = -2x^2 + 3x + 10
f(x)=−2x2
+3x+10 lautet:
f′(x)=−4x+3f'(x) = -4x + 3
f′
(x)=−4x+3
Setzen wir das in die allgemeine Tangentengleichung ein:
T(x)=(−4u+3)⋅(x−u)+(−2u2+3u+10)T(x) = (-4u + 3) \cdot (x - u) + (-2u^2 + 3u + 10)
T(x)=(−4u+3)⋅(x−u)+(−2u2
+3u+10)
Dies ist die korrekte allgemeine Gleichung der Tangente.
Fehler in deiner GleichungJetzt betrachten wir deine Gleichung:
5,5=−4u+3⋅(3−u)−2u2+3u+105,5 = -4u + 3 \cdot (3 - u) - 2u^2 + 3u + 10
5,5=−4u+3⋅(3−u)−2u2
+3u+10
Dein Fehler liegt in der Art und Weise, wie du den Tangentenanstieg f′(u)=−4u+3f'(u) = -4u + 3
f′
(u)=−4u+3 in die Gleichung eingesetzt hast. Statt den Anstieg (−4u+3)(-4u + 3)
(−4u+3) mit (3−u)(3 - u)
(3−u) zu multiplizieren, hast du nur den ersten Teil der Gleichung multipliziert (also nur 33
3 multipliziert, aber −4u-4u
−4u als separate Terme stehen lassen). Dadurch entsteht ein falscher Ausdruck.
Richtig wäre:
5,5=(−4u+3)⋅(3−u)+(−2u2+3u+10)5,5 = (-4u + 3) \cdot (3 - u) + (-2u^2 + 3u + 10)
5,5=(−4u+3)⋅(3−u)+(−2u2
+3u+10)
Wenn du das ausmultiplizierst, erhältst du die Buchlösung:
5,5=(−4u+3)⋅(3−u)+2u2+105,5 = (-4u + 3) \cdot (3 - u) + 2u^2 + 10
5,5=(−4u+3)⋅(3−u)+2u2
+10
Zusammenfassung der Schritte:- Die allgemeine Tangentengleichung lautet: T(x)=f′(u)⋅(x−u)+f(u)T(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u)
- T(x)=f′
- (u)⋅(x−u)+f(u).
- Ableitung der Funktion: f′(u)=−4u+3f'(u) = -4u + 3
- f′
- (u)=−4u+3.
- Setze T(3)=5,5T(3) = 5,5
- T(3)=5,5 ein:
- 5,5=(−4u+3)⋅(3−u)+(−2u2+3u+10)5,5 = (-4u + 3) \cdot (3 - u) + (-2u^2 + 3u + 10)
- 5,5=(−4u+3)⋅(3−u)+(−2u2
- +3u+10)
- Durch Ausmultiplizieren erhältst du den korrekten Ausdruck.
schon wieder KI ? die auch noch so blöd ist , vieles zu wiederholen . Abnerv . Und obs korrekt ist ,weiß keiner
5,5=-4u+3*(3-u)-2u^2+3u+10
5,5=(-4u+3)*3+2u^2+10 .............buch
so sollte es gehen
GEGEBEN : -2x² + 3x +10 .................-4x + 3..........................3/5.5
5.5 = (-4u+3) * (3-u) + (-2u² + 3u +10)
5.5 = -12u + 4u² + 9 - 3u - 2u² + 3u + 10
5.5 = + + 9 - + 10
5.5 = 2u² - 12u + 19
0 = u² - 6u + 13.5/2 .....................1.5 ..........4.5 als Lösungen
.
Bin mir grad nicht sicher : evtl unterscheiden sie die Ansätze, wenn der Punkt auf dem Graph der Fkt liegt