Wie rechne ich diese Aufgabe zum exponentielleb Wachstum einer Hefekultur?

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich dieser Mathe Aufgabe:

Aufgabe) Eine Hefekultur verdoppelt ihr Gewicht alle 45 Minuten. Nach 22 Minuten wiegt sie 100 Gramm. Welches Gewicht hatte sie zum Ausgangszeitpunkt?

Answer 1

[mihisu]

Die Masse m in Abhängigkeit der Zeit t kann man (bei anfänglicher Masse m₀ und einer Verdopplungszeit T) durch...

$m=m_0\cdot 2^{\frac{t}{T}}$

... beschreiben. Im konkreten Fall erhält man so bei Masse m = 100 g nach einer Zeit t = 22 min bei einer Verdopplungszeit T = 45 min...

$100\,\text{g}=m_0\cdot 2^{\frac{22\,\text{min}}{45\,\text{min}}}$

$\rightarrow\quad m_0=\frac{100\,\text{g}}{2^{\frac{22\,\text{min}}{45\,\text{min}}}}\approx 71\text{,}3\,\text{g}$

Comments

[Akamen]

Darf ich noch kurz fragen wofür die 2 bei m0 * 2^t/T steht?

[mihisu]

@Akamen

Für die Verdopplung. (Bei einer Verdreifachung hätte man da beispielsweise eine 3 stehen.)

Denn...

• Bei einer Verdopplung multipliziert man mit dem Faktor 2.
• Bei zwei Verdopplungen multipliziert man mit 2 und dann nochmal mit 2. Also multipliziert man dann zusammengefasst mit 2 ⋅ 2 = 2².
• Bei 3 Verdopplungen multipliziert man mit 2 und dann nochmal mit 2 und dann nochmal mit 2. Also multipliziert man dann zusammengefasst mit 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2³.
• Und so weiter...
• Bei n Verdopplungen multipliziert man mit 2^n.

Und die Anzahl der Verdopplungen erhält man hier, indem man die Zeit t durch die Verdopplungszeit T teilt. Also muss man dann bei t/T Verdopplungen die ursprüngliche Masse mit 2^(t/T) multiplizieren.

[Akamen]

@mihisu

Das ergibt Sinn, vielen lieben Dank!

[Akamen]

Vielen Dank für die schnelle Hilfe!