Wie mit Funktion mit Scharparameter umgehen?
Hi,
ich habe die Funktion f(x) = axe^(-x/a). Der Scharparameter a>0. Die Funktion soll ich hinsichtlich Nullstellen, Extrema, Wendepunkten und Grenzverhalten untersuchen und für a=1,2 und 3 eine Skizze anfertigen. Heißt das auch, dass ich die gesamte Untersuchung für die drei Werte von a machen soll? Einfach für a die Werte einsetzen? Theoretischbrauche ich das doch nur einmal zu machen (z.B. für 1), denn da a immer positiv ist, ändert sich ja nicht viel, oder? Wäre euch für Antworten sehr dankbar. Rechnen kann ich alleine, ich will bloß wissen ob ich die Untersuchung drei Mal machen muss oder ob einmal reicht und was ihr noch für Tipps habt bei Funktionen mit Scharparametern?
Euer worldni.
4 Antworten
Prinzipiell diskutiert man Scharfunktionen, indem man alle Rechnungen genauso ausführt wie bei normalen Funktionen, nur, dass man eben den Scharparameter als Variable mit durchzieht. Dabei kann es vorkommen, dass Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Grenzverhalten vom Scharparameter abhängen oder eben nicht:
Nullstellen:
0 = f(x) = axe^(-x/a) <=> x = 0 (da a>0 und e^wasauchimmer>0)
Die Nullstelle ist immer bei (0,0) und hängt nicht von a ab.
Extrema:
f'(x) = ae^(-x/a) + axe^(-x/a) * (-1/a) = e^(-x/a) * (a - x)
f'(x) = 0 <=> x=a
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt sich an der Stelle ein negativer Wert, also ist das hier an der Stelle a ein Maximum, das vom Scharparameter abhängt. Maximum bei: (a,a²/e)
e^0 =1 also keine Nullstellen,Extrema,Wendepunkte wie Iks schon oben ausgeführt hat
Ich verstehe die mit Malzeichen so: f(x) = a * x * e^(-x/a).
Deshalb Nullstelle, Extrem und Wendepunkt. Die andere Interpretation mit dem x als Malzeichen ist mir gar nicht in den Sinn gekommen...
bei der Untersuchung auf Nullstellen usw musst Du das a lassen und dafür nichts einsetzen; nur für die Skizze a=1,2,3 einsetzen. Bei gegen unendlich strebt der term gegen 0 und bei gegen minus unendlich gegen unendlich. gruß ej
Für alle positiven ändert sich an der Funktion prinzipiell nichts weltbewegendes, da hast du recht. Die Funktionsschar hat für a>0 keine Extrema und keine Wendestellen, das Verhalten für x->oo und x->-oo ist auch immer gleich, prinzipiell also völlig uninteressant.
Ich sehe gerade, dass einige hier die Funktion anders gelesen haben als ich.
Ich las: f(x) = a * e^(-x/a) (x als *)
Casilein las: f(x) = a * x * e^(-x/a).
Im zweiten Fall gilt:
f'(x) = (a-x) * e^(-x/a) und
f''(x) = (x/a-2) * e^(-x/a) und
f'''(x) = -1/a * e^(-x/a) * (1+x/a)
Aus f'(x)=0 folgt x=a, es gilt f''(a) <0, also ist bei x=a ein Maximum.
Aus f''(x)=0 folgt x=2a, es gilt f'''(2a) <0, also ist bei x=2a ein Wendepunkt.
Du musst dir halt jetzt die Antwort raussuchen, die zu deiner Aufgabe passt.
a ist keine Variable wie x, also beim Ableiten gibt es auch keine Produktregel,und f ' = -e^(-x/a)