Wie mit Funktion mit Scharparameter umgehen?

4 Antworten

Prinzipiell diskutiert man Scharfunktionen, indem man alle Rechnungen genauso ausführt wie bei normalen Funktionen, nur, dass man eben den Scharparameter als Variable mit durchzieht. Dabei kann es vorkommen, dass Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Grenzverhalten vom Scharparameter abhängen oder eben nicht:

Nullstellen:

0 = f(x) = axe^(-x/a) <=> x = 0 (da a>0 und e^wasauchimmer>0)
Die Nullstelle ist immer bei (0,0) und hängt nicht von a ab.

Extrema:

f'(x) = ae^(-x/a) + axe^(-x/a) * (-1/a) = e^(-x/a) * (a - x)
f'(x) = 0 <=> x=a
Durch Einsetzen in die zweite Ableitung ergibt sich an der Stelle ein negativer Wert, also ist das hier an der Stelle a ein Maximum, das vom Scharparameter abhängt. Maximum bei: (a,a²/e)

e^0 =1 also keine Nullstellen,Extrema,Wendepunkte wie Iks schon oben ausgeführt hat

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a ist keine Variable wie x, also beim Ableiten gibt es auch keine Produktregel,und f ' = -e^(-x/a)

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@Ellejolka

Ich verstehe die mit Malzeichen so: f(x) = a * x * e^(-x/a).

Deshalb Nullstelle, Extrem und Wendepunkt. Die andere Interpretation mit dem x als Malzeichen ist mir gar nicht in den Sinn gekommen...

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Hab' in meiner ersten Antwort die Funktion anders gelesen als Casilein.

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Ich sehe gerade, dass einige hier die Funktion anders gelesen haben als ich.

Ich las: f(x) = a * e^(-x/a) (x als *)

Casilein las: f(x) = a * x * e^(-x/a).

Im zweiten Fall gilt:

f'(x) = (a-x) * e^(-x/a) und
f''(x) = (x/a-2) * e^(-x/a) und
f'''(x) = -1/a * e^(-x/a) * (1+x/a)

Aus f'(x)=0 folgt x=a, es gilt f''(a) <0, also ist bei x=a ein Maximum.

Aus f''(x)=0 folgt x=2a, es gilt f'''(2a) <0, also ist bei x=2a ein Wendepunkt.

Du musst dir halt jetzt die Antwort raussuchen, die zu deiner Aufgabe passt.

Für alle positiven ändert sich an der Funktion prinzipiell nichts weltbewegendes, da hast du recht. Die Funktionsschar hat für a>0 keine Extrema und keine Wendestellen, das Verhalten für x->oo und x->-oo ist auch immer gleich, prinzipiell also völlig uninteressant.

Bei a ist ein Maximum.

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@casilein

... und irgendwo muss rechts vom Maximum auch ein Wendepunkt sein.

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@casilein

Die Ableitung von f(x) = a * e^(-x/a) ist einfach -e^(-x/a) und dies ist größer als 0 für alle x aus IR, daher gibt es keinen Extrempunkt.

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@lks72

Stimmt sogesehen, wir müssten den Fragesteller mal fragen, ob das x ein Mal oder ein x ist... ;-)

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bei der Untersuchung auf Nullstellen usw musst Du das a lassen und dafür nichts einsetzen; nur für die Skizze a=1,2,3 einsetzen. Bei gegen unendlich strebt der term gegen 0 und bei gegen minus unendlich gegen unendlich. gruß ej

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