Wendepunkte, Extrema, Nullstellen,.....

3 Antworten

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Wo ist das Problem ?? Das ist doch nur ne Funktion mit einem weiteren Parameter.. also a...

Wie lauten hier die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte?

Nullstellen:

f(x) = x^2 + ax + a  = 0  | quadratische Ergänzung oder pq-Formel

x^2 + ax + a  = 0

x^2 + ax + (a/2)^2 = -a + a^2 / 4

( x + a/2)^2 = a^2/4 - a

x + a/2 = ±√ ( a^2/ 4 - a )

 

x =  ±√ ( a^2 /4 - a ) - a/2

Der Wert in der Wurzel muss positiv oder 0 sein.

a^2 / 4 - a > 0 dann gibt es 2 Nullstellen 

 

a^2 /4 - a = 0 gibt es 1 Nullstelle  x = - a/2 

 a^2 / 4 - a < 0 hat die Funktion keine Nullstellen

Extrema

f ´( x ) = 2x + a

 

2 x + a = 0

 

2  x = -a

 

x = -a / 2

y-Wert ermitteln:

f (-a/2) = ( -a/2)^2 + a  ( -a/2) + a

 f ( -a /2 ) = a^2 / 4  - a^2 / 2 + a 

f(-a /2 ) = - a2 / 4  + a

Extemwert:( -a / 2  | a - a^2 / 4 )

=> Tiefpunkt/Mininmum

Wendepunkt:

f ´´ ( x ) = 2

- es gibt keinen

- die Graphen aller Funktionen => linksgekrümmt

Zeige, dass alle Extrempunkte der Graphen von fa auf der Parabel mit y=-x2-2x liegen.

Ortskurve

x = -a / 2  ->  a = -2 x

 

y = a - a^2 / 4

y = -2x - ( -2x)^2 / 4

 

y = -2x + 4x^2 / 4

 

y = x^2 - 2 x  => bewiesen

Für welche Werte von a liegt der Extrempunkt des Graphen von fa außerhalb der x-Achse?

versteh ich nicht...


ralphdieter  16.05.2015, 09:57

außerhalb der x-Achse

Diese Formulierung ist schon eigenartig. Vermutlich soll es "überhalb der x-Achse" heißen.

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stekum  16.05.2015, 16:53

Es ist yₑ = a ─ ¼a² = ¼a(4 ─ a), dh. für a = 0 und a = 4

liegt das Extremum auf der x-Achse, sonst „außerhalb er x-Achse“.

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Ns. x = ‒ ½ (a ± √(a² ‒4a)) für a ≤ 0 oder a ≥ 4 . . . .

Extr. xₑ = ‒ ½a und yₑ = a ‒ ¼a².

Einsetzen von a = ‒ 2xₑ gibt yₑ = ‒ 2xₑ ‒ ¼(‒ 2xₑ)² = . . .      Kein Wp.

Für x = 0  und für x = - 2 liegt das Extremum auf der x-Achse.


ralphdieter  16.05.2015, 10:05

Kurz und knackig -- genau das, was meinen Mathelehrer immer zur Weißglut trieb. Ich liebe es!

Wie machst Du denn das tiefgestellte 'e'? Ich will das auch haben (und ein hochgestelltes 'n')!

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stekum  16.05.2015, 17:01

Die extreme Kürze hatte diesmal seinen Grund in der

fortgeschrittenen Nachtstunde, ich wollte schnell ins Bett.

Zum Glück haben Volens & Co. ausführlicher geantwortet,

die Fragestellerin hatte ja extra darum gebeten.

❽ ❺ ❻ ❰ ❾ ᵃ ᵇ ᶜ ᵈ ᵉ ᶠ ᵝ ʰ ❱ ʲ ᵝ ᵝ ❿ ᵒ ᵖ . . . ₝ ₑ ᵢ ₒ ᵤ ᵣ ᵥ ₓ ₀ ₂ ₃ . . .

sind auf Microsoft Office Word 2007 Sonderzeichen.

Notfalls kannst Du sie hier abkopieren für künftigen Gebrauch.

Hochzahlen außer 0, 2, 3 gehen leider nicht

(werden von gf nicht angenommen) und Index 1 leider auch nicht.

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Eine Funktionsschar wird behandelt wie eine normale Funktion, denn a ist auch nichts weiter als eine Zahl, die du mit in alle Gleichungen einsetzen kannst. Erst wenn du damit fertig bist, kannst du den zusätzlichen Parameter interpretieren.

Da bei x²+ax+a = 0 (Nullstellenberechnung) Folgendes der Fall ist:

p = a und q = a

sieht die Lösung so aus:

x1,2= -a/2 ±√(a²/4 - a)

Eine Kurvenschar besteht aus unendlichen vielen Kurven. Hier kannst du jetzt sagen: wenn der Wert unter der Wurzel größer oder gleich 0 ist, gibt es Lösungen, sonst nicht:

a²/4 - a ≥ 0

a² ≥ 4a     

Das bedeutet, man hat ein Kriterium, das besagt, von welchem Aufbau die Kurven sein müssen, damit sie Nullstellen haben, namlich

a ≤ 0 und a > 4

Für die a dazwischen gibt es keine Kurven von diesem Aufbau mit Nullstellen.

Solche Entscheidungen kann man dann auch für Extremwerte und Wendepunkte errechnen.

Woher ich das weiß:eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

ralphdieter  16.05.2015, 09:46

Et tu, Volens! Du meinst doch sicher "a ≤ 0 oder a > 4"

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Volens  16.05.2015, 09:56
@ralphdieter

Ja, auch ich, weil ich in dem Augenblick gerade deutsch gedacht habe (im Sinne einer Aufzählung) und nicht mathematisch-logisch. Ich hoffe für mich, dass ich es bei einer formalisierten Schreibweise richtig geschrieben hätte, bin mir aber eigentlich sicher.

Auf alle Fälle vielen Dank für den Hinweis. Recht hast du ja. (Und dann kokettierst du noch mit einem Wortspiel bezüglich Brutus. Das liebe ich.) Aber ich weiß nicht, ob ich jedes Mal daran denken werde zu erwähnen, wann ich mich in den Gefilden der deutschen Grammatik aufhalte und wann nicht. Man hat an so vieles zu denken, wenn man hier antwortet.

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ralphdieter  16.05.2015, 10:01
@Volens

Betrachte mich einfach als Deinen Assistenten, der Korrektur liest :)

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