Anzahl der Wendepunkte/Extrempunkte ohne Berechnung bei zusammengesetzten Funktionen?
Wie könnte man ohne Berechnung begründen, dass der Graph von f drei Wendepunkte haben muss?
Die Funktion lautet: 𝑓(𝑥) = −𝑥 ∙ 𝑒^-(x)^2
3 Antworten
Gar nicht. Der Graph hat nämlich gar nicht drei Wendepunkte, sondern nur einen einzigen...
Die einzige Nullstelle von f′′(x) ist bei x = 0 (mit einem Vorzeichenwechsel von + zu -). Befindet sich an der Stelle x = 0 der einzige Wendepunkt der Funktion f.
Ganz ohne Rechnung wird es schwierig. Man könnte zumindest ohne Rechnung noch recht anschaulich begründen, dass es mindestens drei Wendepunkte sein müssen. Auf genau drei Wendepunkte zu kommen (ohne das durch Rechnung zu überprüfen) wird schwierig.
Ich würde das evtl. so versuchen...
- Offensichtlich konvergiert f(x) für x gegen -∞ und für x gegen +∞ jeweils gegen 0. [Das Verhalten der Exponentialfunktion überwiegt hier im Unendlichen.]
- Für x < 0 ist sind die Funktionswerte offensichtlich positiv, und für x > 0 sind die Funktionswerte offensichtlich negativ. (Die Exponentialfunktion ist immer positiv, weshalb das Vorzeichen von dem Faktor -x bestimmt wird.)
Also...
- Von x → -∞ kommend verläuft der Graph asymptotisch von der x-Achse angenähert (wegen Grenzwert 0) nach oben von der x-Achse weg (wegen den positiven Funktionwerten). Um von der x-Achse wegzukommen, muss der Graph also zunächst einmal linksgekrümmt sein. [Um von Steigung nahe 0 (wegen der asymptotischen Annäherung) hin zu einer positive Steigung (weil die Funktion nach oben in den positiven Funktionswertebereich verläuft) zu erhalten.]
- Da die Funktion dann irgendwann negative Funktionswerte annimmt, muss der Graph wieder fallen. Um von positiver Steigung zu negativer Steigung zu kommen, muss die Funktion aber rechtsgekrümmt sein, damit die Steigung abnehmen kann.
- Damit der Graph sich für x → ∞ von negativen Funktionswerten dem Funktionswert 0 annähern kann, braucht man eine positive Steigung. Um von negativer Steigung zu positiver Steigung zu kommen, muss die Funktion linksgekrümmt sein, damit die Steigung zunehmen kann.
- Damit sich der Graph für x → ∞ asymptotisch der x-Achse nähern kann, muss die Steigung sich 0 nähern. Die positive Steigung muss sich also 0 nähern, d.h. die Steigung muss abnehmen, sodass eine Rechtskrümmung vorliegt.
Es sind also mindestens drei Wendepunkte zwischen den Krümmungswechseln erforderlich...
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Es ist aber ohne weitere Überprüfung (bswp. durch entsprechende Rechnung) schwierig, ausreichend zu begründen, dass man keinen Krümmungswechsel übersehen hat. Daher die Folgerung aus der von mir genannten Begründung: Es gibt „mindestens“ 3 Wendepunkte.
Hier handelt es sich um eine ungerade, nichtlineare Funktion - daher liegt schon einmal eine Wendestelle im Ursprung vor. Gleichzeitig fällt Exp(-x^2) für x -> +/- Unendlich stärker ab als -x; daher ist die x-Achse Asymptote des Graphen für x -> +/- Unendlich. Für x -> + Unendlich nähert sich der Graph von unten gegen die x-Achse, für x -> - Unendlich von oben. Daher müssen zwei weitere Wendestellen vorliegen, die symmetrisch zur y-Achse liegen…
Interessant finde ich , wie man es schafft , Rechnung von Argumenten abzugrenzen.
Was ist Rechnung und was nicht ?
Könnte man auch so argumentieren , das bei der zweiten Ableitung ein Faktor mit x³ entstehen muss ?
Das reicht nicht - weil das Polynom 3. Grades vor dem Faktor Exp(-x^2) ja nicht unbedingt 3 reelle Nullstellen besitzen muss…
Ich denke, unter „Rechnen“ wird hier verstanden, die Wendepunkte über die Nullstellen der zweiten Ableitung herauszufinden…
e^x² ähnelt einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitel bei (0/1)
Mal -x : linker Ast ( x < 0 ) wird mit PLUS multipliziert und bleibt positiv. Rechter Ast hingegen wird negativ . Dazwischen liegt der einzige Wendepunkt
Hab das minus vergessen.. Sry und geht es sber ohne Rechnung...