Wie löse ich dieses mathematisches Problem?

Der Minutenzeiger hat eine deutlich höhere Rotationsgeschwindigkeit als der Stundenzeiger. Zu welchem genauen Zeitpunkt (auf die Sekunde genau) bilden die beiden Zeiger nach 17 Uhr den ersten rechten Winkel?

mit einer Erklärung bitte

Answer 1

[mihisu]

Sei t die seit 17 Uhr vergangene Zeit.

Um 17 Uhr (t = 0) hat der Minutenzeiger einen Winkel von...

$\varphi_\text{min}(0)=0\degree$

... bzgl. der 12-Uhr-Position und der Stundenzeiger (der auf zu diesem Zeitpuntkt auf die 5 zeigt) hat einen Winkel von...

$\varphi_\text{h}(0)=\frac{5}{12}\cdot 360\degree=150\degree$

... bzgl. der 12-Uhr-Position.

Der Winkel des Minutenzeigers nimmt nun pro Stunde um einen Vollwinkel (360°) zu. Dementsprechend erhält man für die entsprechenden Winkel zum Zeitpunkt t...

$\varphi_\text{min}(t)=\underbrace{0\degree}_{\varphi_\text{min}(0)}+\frac{360\degree}{1\,\text{h}}\cdot t=\frac{360\degree}{1\,\text{h}}\cdot t$

Der Winkel des Stundenzeigers nimmt pro 12 Stunden um einen Vollwinkel (360°) zu. Dementsprechend erhält man für die entsprechenden Winkel zum Zeitpunkt t...

$\varphi_\text{h}(t)=\underbrace{150\degree}_{\varphi_\text{h}(0)}+\frac{360\degree}{12\,\text{h}}\cdot t$

$\quad =150\degree+\frac{12\cdot 30\degree}{12\cdot 1\,\text{h}}\cdot t$

$\quad =150\degree+\frac{30\degree}{1\,\text{h}}\cdot t$

Für die Differenz erhält man...

$\varphi_\text{h}(t)-\varphi_\text{min}(t)=150\degree+\frac{30\degree}{1\,\text{h}}\cdot t-\frac{360\degree}{1\,\text{h}}\cdot t$

$\quad =150\degree+\frac{30\degree-360\degree}{1\,\text{h}}\cdot t$

$\quad =150\degree-\frac{330\degree}{1\,\text{h}}\cdot t$

Diese Differenz nimmt nun von 150° ausgehend zunächst immer weiter ab, bis die Differenz 90° erreicht, wo die beiden Zeiger das erste Mal nach 17 Uhr einen rechten Winkel bilden. Zu diesem Zeitpunkt ist dann...

$90\degree=150\degree-\frac{330\degree}{1\,\text{h}}\cdot t\qquad\left|\,{}+\frac{330\degree}{1\,\text{h}}\cdot t - 90\degree\right.$

$\frac{330\degree}{1\,\text{h}}\cdot t=60\degree\qquad\left|\,{}:\frac{330\degree}{1\,\text{h}}\ \text{bzw.}\ {}\cdot \frac{1\,\text{h}}{330\degree}\right.$

$t=\frac{60\degree}{330\degree}\cdot 1\,\text{h}$

$t=\frac{60\degree}{330\degree}\cdot 3600\,\text{s}\approx 654\text{,}54\,\text{s}\approx 655\,\text{s}$

Der gesuchte Zeitpunkt befindet sich also (auf ganze Sekunden gerundet) 655 Sekunden nach 17 Uhr.

Bzw. kann man das Ergebnis auch mit Minuten und Sekunden angeben...

$t=655\,\text{s}=600\,\text{s}+55\,\text{s}=10\,\text{min}+55\,\text{s}$

Der gesuchte Zeitpunkt befindet sich also (auf ganze Sekunden gerundet) 10 Minuten und 55 Sekunden nach 17 Uhr, also zur Uhrzeit 17:10:55.

Answer 2

[gauss58]

Geschwindigkeiten der Zeiger:

v_h = 0,5° / min

v_min = 6° / min

Anfangsposition der Zeiger:

Um 17:00 Uhr steht der Stundenzeiger auf 150° und der Minutenzeiger auf 0°.

Gleichung aufstellen:

Winkel Stundenzeiger - 90° = Winkel Minutenzeiger

150° + (0,5° / min) * x_min - 90° = 0° + (6° / min) * x_min

x_min = 10,9091 min = 10 min 55 s

gesuchte Uhrzeit:

17:10:55 Uhr

Answer 3

[snowie535]

Du musst die winkel der Beiden zeiger in relation zur 12 als funktionen f und g darstellen und dann die fpöende Gleichung lösen:

$f(x)-g(x)=90$ bzw.

$g(x)-f(x)=270$

Answer 4

[Rammstein53]

Angenommen, die Uhr zeigt max. 12 Stunden:

Winkel Minutenzeiger ab 5 Uhr: wm(t) = 360/60 * t

Winkel Stundenzeiger ab 5 Uhr: ws(t) = 360*5/12 + 360/(60*12) * t

t in Minuten

Ansatz:

|wm(t) - ws(t)| = 90

|360/60 * t - 360*5/12 - 360/(60*12) * t| = 90

Daraus folgt:

|11/2*t - 150| = 90

minimale Lösung:

t = 120/11 ~ 10.909 Minuten