Wie lange braucht der Minutenzeiger um den Stundenzeiger zu überholen?
Hallo, man soll das mithilfe mathematischer Überlegungen ausrechnen und es kommt 1h 5 Minuten und 27 Sekunden raus aber wie kommt man darauf?
7 Antworten
Der Minutenzeiger bewegt sich mit 1/60 rpm, der Stundenzeiger mit 1/(12*60) rpm
x * 1/60 = 1 + x * 1/720
(1/60-1/720)x = 1
x = 1/(12/720-1/720)
x = 1/(11/720)
x = 720/11
x = 65,4545...
x ~ 1 Std 5 Min 27 Sek
Könntest du kurz sagen wie man auf die erste Gleichung kommt? Was stelle ich genau gleich ?x * 1/60 = 1 + x * 1/720
Es geht um die vergangene Zeit x bis zur selben Position (=).
Der große Zeiger läuft mit einer Geschwindigkeit von 1/60 rpm (rounds per minute), also 1 round per hour. Mit dem Ergebnis eingesetzt können wir ausrechnen, dass er 65,45 * 1/60 = 1,09 Runden weit kommt.
Bei der ersten Überrundung ist der Minutenzeiger schon eine Runde gelaufen, deswegen 1+, denn der Stundenzeiger muss diese ganze Runde nicht drehen.
Man kann sozusagen beide Zeiger unabhängig voneinander laufen lassen. Der kleine Zeiger läuft vom Startpunkt bis zu dem Punkt, wo sie sich treffen, der große auch, aber er dreht ne Extrarunde.
So kommt der Stundenzeiger auf 65,45*1/720 = 0,09 Runden (Stunden). Das ist genau der Weg des Minutenzeigers ohne seine Extrarunde.
Ausgehend wir starten bei 00:00, dann kann der Minutenzeiger den Stundenzeiger erst nach 61 Minuten überholen (auch davon ausgehend, dass sich nur zur vollen Minute der Zeiger bewegt).
Gleichzeitig bewegt sich aber auch der Stundenzeiger und befindet sich auf 01:00 Uhr, heißt es werden 65 Minuten benötigt, damit sie wieder gleich auf sind, oder 1:05:00
Für den Rest kenne ich mich mit der Aufgabe nicht aus, vor allem Uhren, die sich auch im Sekundentakt den Minutenzeiger ändern, allerdings könnte ich mir gut vorstellen, dass man das gleichsetzen muss um dann auf die Lösung zu kommen.
Also 1/60*x=1+1/720*x
Nun alles auf eine Seite:
1/(12/720-1/720) = x
1/(11/720) = x
Doppelbruch: https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/doppelbruch-mehrfachbruch.html
(1/1)/(11/720) = 1*720 / 1*11 = 720/11
720/11 = x
720/11 = 65,454545
0,4545454/100*60 = ~0,273
Also 1 Stunde 5 Minuten und 27 Sekunden
Im Nachhinein klingt der Text ein bisschen komisch, da ich einen kompletten Batzen rausgelöscht habe, war wohl ein bisschen zu viel.
Was unter "oder 1:05:00" kommen sollte war, dass das Maximum damit garantiert bei 1:06:00 liegt.
Außerdem fehlt woher die 1/60 und die 1/720 kommen:
Eine Minute hat den Wert 1/60, da unsere größte Zeiteinheit eine Stunde ist.
Insgesamt betrachten wir einen Zeitraum von maximal 12 Stunden, weil Uhr, heißt 1/720.
In anderen Worten: Wir versuchen zu errechnen, wann der Wert der Minuten den selben Wert der Stunden erreicht, in einem Zeitraum von 12 Stunden. Und dies würde sich dann auch immer wieder wiederholen.
Wenn der Min.-Zeiger so gerade eben am Std.-Zeiger vorbei ist, dann dauert es etwa 1 Stunde, bis er ihn wieder eingeholt hat. Diese 1 Stunde bedeuten 5 Minuten für den Min.-Zeiger, daher 1 Stunde, 5 Minuten.
Die 27 Sekunden weil: er muss den Std.-Zeiger ja nicht nur EIN- sondern auch ÜBERholen.
Das ist dann wohl die Zeit, die der Min.-Zeiger braucht um sich VOR den Std.-Zeiger zu setzen.
Ich weiß nicht, wie man diese 27 Sek ausrechnet, ich denke es ist abhängig von der Breite der Zeiger und gilt nur für Uhren, deren Zeiger eine gleichmäßige Bewegung ausführen und nicht takten.
da sich der Stundenzeiger währenddessen auch bewegt.
Hallo,
nimm an, beide Zeiger stehen auf der 12.
Wenn der Minutenzeiger wieder auf der 12 steht, ist eine Stunde vergangen und der Minutenzeiger ist auf die 1 vorgerückt.
In Gradzahlen ausgedrückt, hat der Stundenzeiger in einer Stunde=60 Minuten einen Vollkreis von 360°, also 6° pro Minute, zurückgelegt. In diesen 60 Minuten hat der Stundenzeiger den 12. Teil eines Kreises, also 30° zurückgelegt, was 1/2° pro Minute ist.
Sei t die Anzahl der Minuten, die vergehen, bis der Minutenzeiger, der jetzt auf der 12 steht, den Stundenzeiger auf der 1 eingeholt hat.
Der Stundenzeiger hat zu diesem Zeitpunkt (nach genau einer Stunde, die wir später noch hinzurechnen müssen) einen Vorsprung von 30°.
Dafür ist der Minutenzeiger wesentlich schneller.
Es gilt also: 6t=t/2+30
(11/2)t=30
t=60/11=5,4545... Minuten.
In Minuten und Sekunden umgerechnet sind das 5 Minuten und 27,16 Sekunden.
Zusammen mit der Stunde, die es gedauert hat, bis der Minutenzeiger nach dem Start wieder auf der 12 stand, macht das 1 Stunde, 5 Minuten und 27,16 Sekunden.
Herzliche Grüße,
Willy
Nun, das ist um einiges übersichtlicher als bei mir erklärt :'D