Wie kann man sich den Unterschied zwischen Zufallsvariable X und Wert x vorstellen?
Wie kann ich intuitiv den Unterschied zwischen Zufallsvariable X und Wert x verstehen, sodass ich dieses Verständnis bei theoretischen und langen Formeln immer noch anwenden kann?
Außerdem bei dieser Formel:
Hier verstehe, "die Wahrscheinlichkeit dass Zufallsvariable X ein Element der Menge A ist. Also A ist irgendeine Menge zum Beispiel {,3,4} und X ist auch eine Menge? z.B. {1,2,3,4,} und der Wertebereich von X ist auch eine Menge zum Beispiel bei einem Würfel {1,2,3,4,5,6} ist das so richtig?
Und bei zweiten Teil verstehe ich nicht, warum es sich auf die Summe von dem X für Zufallsfallvariable und nicht dem kalligraphischen X für Wertebereich bezieht. Ehrlich gesagt verstehe ich den rechten Teil so nicht.
1 Antwort
Ich kann deine Verwirrung total verstehen. Bei der Einführung des Begriffs Zufallsvariable wird immer ziemlich geschlampt, sowohl in der Schule als auch am Anfang in der Uni.
Streng genommen ist eine Zufallsvariable eine Abbildung. Man hat ein Zufallsexperiment (z. B. den Würfelwurf) mit Ergebnissen (hier {1,2,3,4,5,6}. Man interessiert sich aber nicht für diese Ergebnissen, sondern für ein abstrakteres Ergebnis, nämlich zum Beispiel dafür, ob die Zahlen gerade sind. Ein klassisches Beispiel ist der doppelte Würfelwurf: Da sind die Ergebnisse dann {(1,1), (,1,2), ... ,(2,1),.. (6,6)}, man interessiert sich aber für die Summe der beiden Würfel.
Die Zufallsvariable X ist dann die Abbildung, die das eine auf das andere abbildet. Beim doppelten Würfelwurf wäre das dann z. B.
X: {(1,1), (,1,2), ... ,(2,1),.. (6,6)} -> {2,3,4,5,...,12}
(a,b) -> a+b
Da man sich aber die Elementarergebnisse gar nicht mehr interessiert, fragt man dann am Ende einfach nur noch danach, ob X = x gilt, ob die Funktion X also als Ergebnis x ist. Klassische Frage: Wie ist die Wahrscheinlichkeit davon, beim doppelten Würfelwurf eine 7 in der Summe zu würfeln? Formale Antwort: P(X=7). Zum Ausrechnen dieser Wahrscheinlichkeit muss man sich dann wieder anschauen, bei welchen Elementarergebnissen man denn in der Summe 7 herausbekommt. Formal: Man bestimmt das Urbild von x bezogen auf die Funktion X und schaut sich diese Einzelwahrscheinlichkeiten an, die addiert man dann.
Jetzt will ich vielleicht nicht nur wissen, wie die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ausprägung von X (eben: 7) ist, sondern ich will das gleich von mehreren Ausprägungen wissen. Zum Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Summe zu erreichen? Das kann ich dann eben so schreiben:
P(X ∈ A)
Und A ist dann {2,4,6,8,10,12}, eben alle geraden Summen, die möglich sind.
Um P(X ∈ A) zu berechnen, muss ich jetzt in diesem Fall für jede dieser einzelnen Zahlen aus A die Wahrscheinlichkeit ausrechnen und addieren. Und das meint der zweite Teil der Formel. Ich berechne
P(X=2), P(X=4), ... ,P(X=12)
Und genau das fasse ich dann durch
zusammen.