Wie funktioniert das Newtonverfahren?
Hi,
ich verstehe das Newtonverfahren nicht. Warum muss ich jetzt die Nullstelle der jeweiligen Tangente berechnen, wenn man auch einefach eine Wertetabelle erstellen kann und nach Vorzeichenwechseln ausschau halten kann und somit das Interval der Nullstelle herausfindet? Wozu dient dann die Tangente?
Ich bedanke mich für jegliche Hilfe im Vorraus.
2 Antworten
Das Newtonverfahren konvergiert schneller, nämlich quadratisch, falls es überhaupt konvergiert und die Ableitung an der Nullstelle ungleich 0 ist. Das bedeutet, dass in jedem Schritt sich die Anzahl der richtigen Stellen etwa verdoppelt.
Am Beispiel der Quadratwurzel von 2 (≈1.4142135623730951) mit Startwert 1:
1
1.5
1.4166666666666665
1.4142156862745097
1.4142135623746899
1.414213562373095
Bei dieser Genauigkeit wiederholt sich ab hier der letzte Wert immer.
Wenn man sich dagegen dadurch annähert, indem man die Schritte immer nur halbiert, benötigt man für jede weitere richtige Stelle etwa drei bis vier Schritte.
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
1.421875
1.4140625
1.41796875
1.416015625
Hier ist erst die zweite Nachkommastelle richtig.
An diesem Beispiel sieht man, dass das Newtonverfahren effizienter ist. Man erhält bereits nach wenigen Schritten eine gute Näherung. Das Verfahren konvergiert aber nicht immer. Außerdem findet man so nur eine Nullstelle und nicht alle. Man muss nahe genug zur gesuchten Nullstelle starten.
In gewissen Fällen konvergiert das Newton-Verfahren schneller als Sekanten-Verfahren. Fasse es aber einfach als ein weiteres Verfahren zur Nullstellen-Berechnung auf, wenn Du Dich nicht gerade mit numerischer Mathematik beschäftigst…