Wie bestimmt man den Wendepunkt einer logistischen Funktion ohne die 2. Ableitung?
Hallo Leute, ich habe ein kleines Problem. Im Mai dieses Jahres mache ich mein Abitur und ich muss mich im Fach Mathematik prüfen lassen. Mathe ist nicht das Problem. Mein Problem ist, dass mein Lehrer mir einige Aufgaben zur Übung gegeben hat und ich gerade an einer verzweifel.
Der Graph der Funktion g besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen sie seine Lage (Hinweis: Ein Nachweis mittels g´´ ist nicht gefordert) g(t)= 25650 / 1 + 8*e ^ -0,47 * t
Das Problem ist, dass ich eigentlich die 2. Ableitung brauche um überhaupt den Wendepunkt bestimmen zu können. In der Aufgabe steht aber, dass ich es so nicht machen muss. Ich habe meinen Lehrer auch schon kontaktiert um dieses Problem zu lösen. Dieser meinte aber, dass ich das selber herausfinden solle. Als Tipp sagte er mir, das g eine logistische Funktion sei und somit zu 100% einen WP habe.
Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen. Ich habe schon auf diversen Seiten nach Hilfe gesucht und überall stand etwas mit der 2. Ableitung.
ps: Diese Aufg. gehört zu einer früheren Abituraufgabe. Es geht um Offshore-Windkraftanlagen und die Leistung in MW die sie erbringen.
Ich bedanke mich bei allen Antwortenden. mfg
Snow D. Ager
5 Antworten
http://matheguru.com/allgemein/logistische-funktion.html
vielleicht hilft das
Du sollst ja nicht die 2. Ableitung ausrechnen, sondern nur bestimmen, wo sie Null wird. Das macht es etwas einfacher. Statt g(t) nehme ich f(t) = 1 / (1 + 8exp(-kt)) mit k = 0,47, oder kurz 1 / (1 + 8E) mit E = exp(-kt). Dann ist f '(t) = 8kE / (1 + 8E)² und hat dasselbe Verhalten wie h'(t) = E / (1 + 8E)². Dann ist (1 + 8E)hoch4 x h" (t) = - kE(1 + 8E)² + 16 kE²(1 + 8E) (das x steht für mal) oder (1 + 8E)³ x h" (t) = - kE(1 + 8E) + 16kE² = 8kE² - kE = kE(8E - 1) Das wird Null für 8E = 1, also exp (- kt) = 1/8, also kt = ln8 und t = ln8 / 0,47 = 4,42...
Du brauchst dafür nicht mal die erste Ableitung. ;-) Du brauchst dir nur die grenzwerte der funktion anzuschauen, also die Asymptoten. Lass dein t-wert gegen + und - Unendlich laufen und du wirst feststellen, dass deine Asymptoten bei y=0 und y= 25650 liegen. Dein Wendepunkt liegt also in der mitte bei y= 25650 / 2. Jetzt musst du nur noch deinen t-wert an diesem Punkt errechnen und du hast deinen Wendepunkt. :-)
@mareckishet8 du hast den wendepunkt mit dem extremwert verwechselt. Der wendepunkt ist die stelle andem die steigung maximal ist, also die extremwerte der 1.ableitung. Also musst du die 2. Ableitung null setzen. Ich verwechsel die beiden aber auch oft. ;-)
Also so wie ICH die Frage verstehe, heißt "Ein Nachweis mittels g´´ ist nicht gefordert)" nicht unbedingt, dass man zur Ermittlung des Wendepunktes die 2.Ableitung nicht verwenden darf. Vielleicht wurden die allgemeinen Eigenschaften eines logistischen Modells nur am Rande erwähnt (siehe den Link von "ellejolka"!), aber um auf diese Eigenschaften zu kommen, hat irgendjemand mal sehr wohl die 2. Ableitung 0 gesetzt. Der Vorteil dieser Regeln ist, dass man nicht unbedingt jedes Mals die 2.Ableitung ermitteln muß, sondern es eben genügt, zu wissen (DAS muß man aber lernen und kommt meiner Meinug nicht einfach Nachdenken), dass bei solchen Modellen eben die Trendwende (=Wendepunkt) genau beim halben Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor liegt.
Viel Erfolg beim Abi, Zwieferl
die einfachste möglichkeit ist, du setzt einfach einfach in die 1 ableitung, einen punkt minimal vor dem wendepunkt ein, und minimal nach dem wendepunkt, dann siehst du ob der graph steigt (1 ableitung positiv) oder fällt (1 ableitung negativ) und dann ist es ja offensichtlich ob es ein hoch / tief / oder terassenpunkt ist. (bsp: fällt es zu erst, steigt danach, dann muss es ein tiefpunkt sein. )
gruß Mareck
p.s. der wendepunkt ist an der stelle wo die 1 ableitung gleich 0 ist, falls das nicht klar gewesen sein sollte
Dein "p.s." ist falsch! Der Wendepunkt ist dort, wo die erste Ableitung einen Extremwert hat!