Wie berechne ich die Gleichung der Geraden mithilfe eines Kreises?

Hallo,

wir haben in Mathe ein neues Thema angefangen und ich bin leider komplett überfordert. Unser Lehrer hat alles an die Tafel hes geschrieben und wir sollten es abschreiben. Aber leider kam keine Erklärung dazu.... vielleicht kann mir jemand hier mehr dazu sagen? Oder kennt jemand Websiten/Videos zu dem Thema (wobei ich leider nicht weiß wie das Thema heißt), wo ich mir alles detailliert ansehen kann? Vielen Dank

Answer 1

[eterneladam]

Der Radius des Kreises ist gleich 5, und wenn die x-Koordinate von C gleich 3 ist, dann liefert der Pythagoras einen Wert von 4 für das eingezeichnete y.

Die Steigung der Strecke von 0 nach C ist damit gleich 4/3.

Jetzt muss man nur noch wissen, dass das Produkt der Steigungen dieser Strecke und der dazu senkrechten Tangente gleich -1 ist, dann folgt schon der Wert -3/4 für die Steigung m_g.

Answer 2

[airbrushtattoos]

Ich hoffe, dass deine Mathetipps dir geholfen haben. Bei so einem Gekrakel an der Tafel mit spärlichen Erläuterungen muss ich sagen...., da stimmt was nicht. Bleib dran, lass dich vom persönlichen Stil eines vielleicht kommunikativ überforderten Lehrers nicht einschüchtern. Beiss dich durch!

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung

Answer 3

[SeifenkistenBOB]

Zu 1:

Ziel dieser Aufgabe ist es, die Längen-Beziehungen zwischen Quadrat und Sechseck in Gleichungen auszudrücken und diese zu lösen.

Was wir wissen:

• Die Seitenlänge des Quadrats ist 1.
• Die Seitenlängen des Sechsecks sind alle gleich lang. Wir nennen diese Länge y.
• Vier Kanten und zwei Ecken des Sechsecks überschneiden sich mit den Kanten und Ecken des Quadrats.

Was wir folgern können:

• Die verbleibenden Dreiecke (rechts oben, links unten) sind gleichschenklig und rechtwinklig (die Länge der Schenkel nennen wir x). Warum? Die Seitenlängen des Quadrats (also quasi die Verlängerung der Schenkel) sind gleich (=1) und wir ziehen von beiden die gleiche Länge y ab, also muss für beide Schenkel auch die gleiche Länge herauskommen. Für rechtwinklige Dreiecke können wir den Pythagoras verwenden. Es ergibt sich daraus eine Formel für die Dreiecke: $x^2+x^2=y^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ 2x^2=y^2$
• Die Seitenlänge des Quadrats ergibt sich aus der Summe zweier Längen: Der Länge y, bei der sich Quadrat und Sechseck überschneiden, und der Länge x, bei der sie sich nicht überschneiden (=Schenkel des Dreiecks). $1\ =\ x+y\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ y\ =\ 1-x$

Nun wird die obere Gleichung noch nach y aufgelöst (Wurzel ziehen), und anschließend mit der zweiten Gleichung gleichgesetzt. Der nachfolgende Rechenweg steht bereits auf deinem Blatt.

Zu 2:

Die Gleichugn x² + y² = 25 lässt sich nach y umstellen, und dann durch Einsetzen der x-Koordinate x=3 die dazugehörige y-Koordinate des Punktes C bestimmen.
Wir wissen nun: x=3, y=4
und können mithilfe der Formel

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ die Steigung einer neuen Gerade h bestimmen, die genau senkrecht auf der Geraden g steht. Wie du hier nachlesen kannst, ist das Produkt der beiden Steigungen -1, genau dann wenn diese orthogonal zueinander stehen. In einer Formel ausgedrück:

$m_h\cdot m_g=-1$

Diese Bedingung lässt sich nun nach m_g umformen und durch Einsetzen von m_h die richtige Steigung berechnen.

Alternativ könnte man die obere Hälfte des Kreises als eine Funktionsgleichung ausdrücken, dessen Ableitung am Punkt x=3 berechnen, und somit die Steigung am Punkt C bestimmen.

Zu 3:

(Ich hoffe, dein Lehrer hat das nicht so angeschrieben, wie es da steht, denn das enthält einige Fehler.)

Im Grund ist die Aufgabe sehr ähnlich zu Aufgabe 1. Wir stellen Längengleichungen auf und setzen sie dann ineinander ein.

Das Quadrat lässt sich in vier identische kleinere Quadrate einteilen. Die Diagonale eines solchen kleinen Quadrats ergibt sich aus dem Pythagoras und wird "c" genannt.
$c=\sqrt{8}=2\cdot\sqrt{2}$ Betrachten wir nun den Kreis, sehen wir, dass sich die Diagonale c ebenfalls aus der Summe aus dem Kreisradius (r) und der Strecke (D) zwischen Ecke und Kreismittelpunkt ergibt:
$c=r+D\ =\ 2\sqrt{2}\approx2,8$ Aus D und dem Kreisradius kann man nun ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren (wie unten links in der Skizze gezeigt):
D² = r² + r² = 2*r²
$\Rightarrow\ D\ =\ \sqrt{2}\cdot r$ Setzt man dieses D nun in die vorangegangene Gleichung ein, so erhält man: $c=r+D\ \ \ \ \ \ \ =r+\left(\sqrt{2}\cdot r\right)=r\left(1+\sqrt{2}\right)\ \ \ =2\sqrt{2}$ Jetzt kommt der Trick für das "schönere" Ergebnis. Anstatt nun einfach durch (1+sqrt(2)) zu dividieren (was ebenfalls vollkommen korrekt wäre), wird die Gleichung mit (sqrt(2) -1) multipliziert. Wir erhalten:

$r\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=2\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1\right)$ $r\left(2-1\right)=r\ =4-2\sqrt{2}$

Dass "r = sqrt(2) -1" nicht stimmt, kannst du ja mal eigenständig durch Einsetzen prüfen.

Comments

[Mayuuuuu2001]

Ich muss gestehen, die C verstehe ich gar nicht...

[SeifenkistenBOB]

@Mayuuuuu2001

Was genau verstehst du nicht bei der c)?

[Mayuuuuu2001]

Zu 1). Müsste ich beim Gleichstellen nicht 1-x = x+y haben ? Also ich verstehe, daß x+y=1 ergeben müssen und demnach 1-x = y ist. Aber die Rechnung auf meinem Bild bei Nr. 1 unter "alle Seiten sind gleich " verstehe ich nicht.

Zu 2) wie komme ich bei y auf 4?

Ich habe x² + y² = 25, also y²=25-x²

Wenn ich jetzt 3 einsetze (schätze mal das ist der wert von C?)

Y²=25-3

Y²=22 | Wurzel ziehen von 22

Y=~(ungefähr) 4,69

Und m....Ich würde dann P (3 | 4,69 ) ungefähr einzeichnen (der Punkt liegt weder auf der geraden noch im Kreis) und ein Steigungsdreieck von C aus machen, oder? Ich würde zwei nach rechts gehen und ca 3, 46 nach oben? Also m= 2/3,46?

[SeifenkistenBOB]

@Mayuuuuu2001

Zu 1)

Müsste ich beim Gleichstellen nicht 1-x = x+y haben ?

Wie kommst du zu dieser Gleichung? Wenn wir ein Gleichsetzungsverfahren anwenden, dann sollten beide Gleichungen, die mit y=... beginnen, kein weiteres y auf der anderen Seite der Gleichung haben. Sonst ist das Gleichsetzen nicht zielführend.

Erste Gleichung:
y² = 2x²
... nach y aufgelöst (Wurzel ziehen):
y = sqrt(2) * x

Zweite Gleichung:
y = 1 - x

Gleichsetzen (siehe Rechnung in deinem Bild):
y = y
1 - x = sqrt(2) * x
... Addition von x:
1 = sqrt(2) * x + x
... Ausklammern von x auf der rechten Seite:
1 = x * (sqrt(2) + 1)
... Division der gesamten Gleichung durch den Klammerausdruck:
1 / (sqrt(2) + 1) = x

Hier hast du bereits das richtige Ergebnis. Zuletzt wird noch mit einer "geschickten Eins" multipliziert, um ein schöneres Ergebnis zu erhalten. Ich weiß nicht, ob man von einem 8/9.-Klässler wirklich erwartet, dass er diese Möglichkeit der Vereinfachung direkt sieht und anwendet. Ich denke eher nicht...
Es ist aber schlicht die Anwendung der dritten binomischen Formel:
a² - b² = (a+b)(a-b)

Der Wert des Ergebnisses wird dabei nicht verändert (Multiplikation mit 1), sondern nur die Darstellung.

[SeifenkistenBOB]

@Mayuuuuu2001

Zu 2)

wie komme ich bei y auf 4?

Quadrieren nicht vergessen.

y² = 25 - x² = 25 - (3)² = 25 - 9 = 16
y = sqrt(16) = 4

(schätze mal das ist der wert von C?)

C ist ein Punkt mit einer x- und einer y-Koordinate. Oben eingesetzt wird die x-Koordinate des Punktes C.

Und m....Ich würde dann P (3 | 4,69 ) ungefähr einzeichnen...

Vergiss den Punkt P, denn deine Rechnung ist nicht korrekt. Es ist hier nur ein einziger Punkt zu betrachten, und zwar der Punkt C(3 | 4).
Wenn du gerne etwas einzeichnen möchtest, dann verbinde den Ursprung mit dem Punkt C durch eine Gerade. Diese Gerade ist die eingangs erwähnte Hilfsgerade h, die orthogonal zu g liegt. Diese Gerade h hat die Steigung m_h = 4/3, also 3 nach rechts, 4 nach oben. Das Einzeichnen und ein Steigungsdreieck ist aber für die Lösung der Aufgabe nicht erforderlich.

Durch Umstellen der Gleichung
m_g * m_h = -1
nach unserer gesuchten Steigung m_g, erhalten wir die passende Formel zur Lösung der Aufgabe:

m_g = -1 / m_h
m_g = -1 / (4/3) = (-1 * 3)/4
m_g = -3/4

[Mayuuuuu2001]

Vielen lieben Dank! Und wie ist das mit der Aufgabe 3?:)

[SeifenkistenBOB]

@Mayuuuuu2001

Hab das oben mal ergänzt... Ich hoffe es ist verständlich.