Wie berechne ich den Wert der Reihe?

Hat jemand einen Ansatz für diese Reihe? $\sum_{n=0}^{\inf}\frac{n}{\left(n+2\right)!}$

Answer 1

[mihisu]

Hinweis 1:

Was ist der Wert der folgenden Reihe?

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$

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Hinweis 2:

Versuche durch geeignetes Kürzen von Brüchen die Variable (den Summationsindex) im Zähler des Bruches wegzubekommen. Dafür kann beispielsweise zunächst

$n=n+2-2$

hilfreich sein [und die zwischenzeitlich in zwei Reihen aufteilen].

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Hinweis 3:

Versuche mit Indexverschiebung auf Reihen der Form wie in Hinweis 1 zu kommen.

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Möglicher Rechenweg:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n}{\left(n+2\right)!}$

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n+2-2}{\left(n+2\right)!}$

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n+2}{\left(n+2\right)!}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{\left(n+2\right)!}$

$=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+1\right)!}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{\left(n+2\right)!}$

[Bei der linken Summe Indexverschiebung n[neu] = n[alt] + 1]
[Bei der rechten Summe Indexverschiebung n[neu] = n[alt] + 2]

$=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}-\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n!}$

$=\left(-\frac{1}{0!}+\frac{1}{0!}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)-\left(-\frac{2}{0!}-\frac{2}{1!}+\frac{2}{0!}+\frac{2}{1!}+\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n!}\right)$

$=\left(-1+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)-\left(-2-2+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{n!}\right)$

$=3+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2}{n!}$

$=3+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!}-\frac{2}{n!}\right)$

$=3+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{n!}\right)$

$=3-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$

$=3-\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1^n}{n!}$

$=3-e^1$

$=3-e\approx 0\text{,}28$

Answer 2

[aperfect10]

Sheesh!

Da Du ja ziemlich gut in Mathe bist, hier nur ein kleiner Hinweis:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{(n+2)!} = \sum_{k=2}^\infty \frac{k-2}{k!}\quad\text{mit } k= n+2$