Wenn Ereignisse A und B unabhängig sind, ist auch das Komplement, also dass A nicht eintrifft und B nicht eintrifft unabhängig?

$\overline{A\ }\ und\ \overline{B}$ sind dann auch auch unabhängig oder? Und gilt das auch andersrum , wenn $\overline{A}\ und\ \overline{B}$ unabhängig sind, sind dann auch A und B unabhängig?

Answer 1

[Jangler13]

Wenn A und B unabhängig sind, dann sind auch

• nicht A und nicht B
• nicht A und B
• A und nicht B

unabhängig.

Das kann man alles relativ leicht beweisen, indem man z.b zeigt, dass P(nicht A geschnitten B) = P(nicht A) * P(B) gilt, wenn man weiß, dass P(A geschnitten B) = P(A)*P(B) gilt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Answer 2

[Willibergi]

Sind A und B unabhängig, gilt:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Prüfe nun, ob auch

$P(\overline A \cap \overline B) = P(\overline A) \cdot P(\overline B)$

gilt. Analog umgekehrt.

Die Formeln

$P(\overline A) = 1 - P(A)$

und

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

können hilfreich sind.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Answer 3

[MagicalGrill]

Ja. Das kann man leicht über einen Zwischenschritt beweisen, da A auch vom Gegenereignis von B unabhängig ist, i.e.

$P(A)=P(A|\overline{B})$