Was ist der Unterschied zwischen dem arithmetischen Mittel und dem Erwartungswert?
Bitte möglichst einfach erklären, bin noch neu in dem Thema :)
2 Antworten
Den Erwartungswert kann man nur bei Zufallsvariablen bestimmen. Das Arithmetische Mittel hingegen wendet man bei Einer Stichprobe an, die man aus einem Zufallsexperiment (oder eine Datenerhebung) erhalten hat.
Wenn eine Zufallsvariable endlich viele Werte , dann erhält man den Erwartungswert, indem man jeden Wert mit dessen Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann das alles aufaddiert.
Bei unendlich vielen werten ist es etwas Komplizierter, weil man dann dort Reihen/Integration benötigt.
Das Arithmetische Mittel bestimmt man ganz einfach: man addiert alle Werte auf und teilt das Ergebnis dann durch die Anzahl der Werte.
Das Arithmetische Mittel hat noch eine nützliche Eigenschaft: es ist ein stark konsistenter Schätzer für den Erwartungswert.
Das bedeutet, wenn du ein Zufallsexperiment unendlich oft Wiederholst, und bei jeder Wiederholung das Arithmetische Mittel aller bisher erreichten Werte bestimmst, wird das Ergebnis Garantiert gegen den Erwartaungswert gehen.
Das bedeutet auch dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Arithmetische Mittel stark vom Erwartungswert abweicht mit der Anzahl der Versuche kleiner wird.
Hallo,
das arithmetische Mittel ist die Summe aller gemessenen Werte geteilt durch ihre Anzahl.
Der Erwartungswert geht nicht von tatsächlich gemessenen Werten aus, sondern von ideal verteilten rechnerisch ermittelten.
Wenn Du z.B. zwölfmal würfest und zählst, wie oft eine Sechs dabei war und Du hättest beispielsweise drei Sechsen, dann hättest Du im Mittel pro Wurf 3/12 oder 0,25 Sechsen geworfen.
Da die 6 aber mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 geworfen wird, liegt der Erwartungswert bei zwei Sechsen, denn 12*1/6=2.
Bei angenommenen Idealverteilungen kann der Erwartungswert auch einmal mit der Methode des arithmetischen Mittels gewonnen werden.
Erwartungswert der Augensumme beim Würfeln ist 3,5, denn bei sechsmaligem Würfeln hast Du idealerweise jeweils eine 1, eine 2, eine 3, eine 4, eine 5 und eine 6 geworfen - was im echten Leben eher selten vorkommt (große Straße mit sechs Zahlen gleich auf Anhieb). (1+2+3+4+5+6)/6=21/6=7/2=3,5.
Das wäre das arithmetische Mittel und der Erwartungswert.
Beim echten Würfeln aber hast Du selten eine solch ideale Verteilung.
Ich würfle gerade mal sechsmal und sehe, was herauskommt:
5; 5;4; 5; 1; 1.
Zufällig liegt die Summe hier auch bei 21. Hier entspricht das arithmetische Mittel exakt dem Erwartungswert von 3,5.
Ich versuch's nochmal:
4;4;5;6;6;1
Diesmal liegt das Mittel bei 26/6=13/3=4,3333..., während der Erwartungswert nach wie vor 3,5 beträgt.
Ein letztes Mal:
5; 5; 4; 2; 3; 4
23/6 ist es diesmal und damit wieder über dem Erwartungswert.
Der Würfel ist gut - ich sollte ihn für Mensch ärgere dich nicht verwenden.
Wenn ich das Spiel noch zig Male wiederholen würde, würde sich das Mittel aller Mittelwerte wahrscheinlich auf 3,5 einpendeln. Dazu bräuchte ich aber schon mindestens 60, besser 120 Versuchsreihen.
Herzliche Grüße,
Willy