Was für eine Funktion ist das mit Lösung und Erklärung?

Hallo,

unser Mathe Prof (erstes Semester) hats voll verkackt mit uns dieses Thema durchzugehen. Nispeln plus Accent plus Geschwindigkeit auf 2x waren zu viel.
Kann vielleicht jemand von euch mir bei folgender Gleichung helfen?
sin(2x- π/4)=1

Wir wissen nicht mal wie das Thema über diese Funktionen/Gleichungen heißt. Steht nicht in den Folien und es wurden immer nur Tafelübungen gemacht.

Kann mir jemand helfen diese zu lösen und mir dabei erklären wie genau das funktioniert?

Danke im Vorraus

Answer 1

[aperfect10]

Also, wie nobytree2 schon schrieb kann man die Arkussinusfunktion benutzen um nach x aufzulösen. Wenn man zunächst annimmt, dass

$-\pi < x < \pi,$ gilt

$\sin(2x-\pi/4) = 1 \iff 2x-\pi/4 = \pi/2 \iff x = \frac{3}{8}\pi$

Da die Sinusfunktion aber eine ungerade Funktion ist, gilt auch

$\sin(2x-\pi/4) = -\sin(-2x+\pi/4)$

und

$-\sin(-2x+\pi/4) = 1 \iff \sin(-2x+\pi/4) = -1 \iff -2x+\pi/4 = -\pi/2 \iff x = -\frac{5}{8}\pi$ Das sind jetzt die beiden Lösungen, die am nächsten an der 0 liegen. Die Sinusfunktion ist aber auch periodisch, das heißt alle Vielfachen von pi plus diese beiden Werte sind ebenfalls Lösungen der Gleichung. Also ist insgesamt

$\left\{\frac{3}{8}\pi + n\pi, -\frac{5}{8}\pi + m\pi\right\}\quad n,m \in \N$ die Lösungsmenge dieser Gleichung.

Comments

[mihisu]

sin(2x - π/4) = 1 ist nicht äquivalent zu 2x - π/4 = π/2. Da müsstest du genau genommen den Äquivalenzpfeil „⇔“ durch ein „⇐“ ersetzen.

Und beim zweiten Fall bist du außerdem fälschlicherweise auf −2x + π/4 = −1 gekommen. Da hast du dich vermutlich verschriben und wolltest vermutlich eher sowas wie −2x + π/4 = 3π/2 schreiben.

[aperfect10]

@mihisu

Du hast vollkommen recht, so wie ich kann man den Äquivalenzpfeil hier nicht verwenden. Ich hoffe trotzdem dass klar wird das gemeint ist.

Und beim zweiten Fall muss es natürlich -pi/2 heißen, ich korrigiere das gleich nochmal.

Danke!

Answer 2

[mihisu]

Naja. Das würde ich auch eher als normalen Schulstoff erachten, den man nach dem Abitur können sollte. Wie dem auch sei...

============

$\sin(x) = a\quad \left[\text{ mit }-1\leq a\leq 1\right]$

... ist äquivalent dazu, dass es eine ganze Zahl k ∈ ℤ mit...

$x=\arcsin(a)+k\cdot 2\pi\quad \text{ oder }\quad x = \pi - \arcsin(a)+k\cdot 2\pi$

... gibt.

Im konkreten Fall erhält man so...

$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=1$

$\Leftrightarrow \quad \exists k\in \mathbb{Z} :\ \left(2x-\frac{\pi}{4}=\arcsin(1)+k\cdot 2\pi\ \text{ oder }\ 2x-\frac{\pi}{4}=\pi-\arcsin(1)+k\cdot 2\pi\right)$

$\Leftrightarrow \quad \exists k\in \mathbb{Z} :\ \left(2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\ \text{ oder }\ 2x-\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\right)$

$\Leftrightarrow \quad \exists k\in \mathbb{Z} :\ \left(2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\ \text{ oder }\ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\right)$

$\Leftrightarrow \quad \exists k\in \mathbb{Z} :\ 2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi$

[Bzw. könnte man alternativ auch sofort wissen, dass 1 das Maximum der reellen Sinusfunktion ist und an welchen Stellen (nämlich bei π/2 plus Vielfaches von 2π) die Sinusfunktion ihr Maximum annimmt. Weiter erhält man dann jedenfalls...]

$\Leftrightarrow \quad \exists k\in \mathbb{Z} :\ 2x=\frac{3\pi}{4}+k\cdot 2\pi$

$\Leftrightarrow \quad \exists k\in \mathbb{Z} :\ x=\frac{3\pi}{8}+k\cdot \pi$

Fertig. Die Lösungsmenge der Gleichung ist demnach...

$L= \left\lbrace \,\frac{3\pi}{8}+k\cdot \pi\,\middle|\,k\in \mathbb{Z}\,\right\rbrace$

Comments

[Pa1nxd]

ja meine Oberstufenphase war Mathe Grundkurs und was wir da gemacht haben erzähl ich lieber nicht 😂💀

Answer 3

[nobytree2]

$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=1$ $\arcsin\left(\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\right)=\arcsin\left(1\right)$

arcsin ist die Umkehrfunktion von sin, heben sich also auf. arcsin von 1 ist 2 pi.

$2x-\frac{\pi}{4}=2\pi$ $2x=2\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{9}{4}\pi$ $x=\frac{9}{8}\pi$

Wir setzen mal ein

$\sin\left(2\cdot\frac{9}{8}\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(2\pi\right)=1$

Tatsächlich kann man sich das mit dem arcsin auch sparen und sofort die Gleichung sin(2pi) = 1 verwenden, was zu 2x - pi/4 = 2pi führt.

Comments

[aperfect10]

Fast, arcsin(1) ist pi/2.

[aperfect10]

@aperfect10

Und sin(2pi) = 0.

[mihisu]

arcsin(1) ist π/2, nicht 2π.

Aber auch dann hättest du so erst einmal nur eine Lösung angegeben, obwohl es unendlich viele Lösungen gibt.

[Pa1nxd]

Gibt es für diese Art von Funktionen einen bestimmten namen? Wir haben das immer komplett schriftlich gemacht, ohne arcsin... Würde mich gerne noch selber weiter lehren mit Videos etc aber weiß nicht wonach ich suchen soll... Achso und danke :)

[aperfect10]

@Pa1nxd

Das sind trigonometrische Funktionen.