Was besagt die dimensionslose Konstante C im Trägheitsmoment I=C*m*r^2?
Hallo, ich würde gerne die obere Frage wissen, im Internet finde ich leider dazu nichts.
Als Beispiel kann ich hier die Erde nennen. Bei einer Vollkugel für den Drehmoment lautet die Formel I=2/5*m*r^2.
Da jedoch bei der Erde die Masse nicht gleichmäßig Verteilt ist, sondern im Mantel deutlich höher als in der Erdmitte, lautet hier die Formel I=1/3*m*r^2.
Warum ist es bei der Erde nur 1/3, beziehungsweise wie erkenne ich, was dieser Wert genau aussagt? Ich suche eine genaue Definition für C.
Danke im Voraus LG
5 Antworten
Das ist ein geometrischer Faktor, der davon abhängt, wie der Körper genau geformt ist. Man erhält ihn durch Integration über die Masse (bei homogener Massenverteilung ist das dasselbe wie Integration übers Volumen). So kommt man z.B. zum Faktor ⅖ für die Vollkugel, oder ⅙ für den Würfel etc.
Leider kann ich Dir nicht sagen, warum die Erde einen Faktor ⅓ hat. Vermutlich ist das aber nur ein empirischer Schätzwert und nicht durch Integration über unterschiedlich dichte Kugelschalen gewonnen — selbst wenn man die Dichte als Funktion des Abstandes vom Mittelpunkt genau angeben könnte, würde dann ja eine krumme Zahl herauskommen, kein sauberer Bruch.
es kommt von den volumen integralen https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment#Beispielrechnung:_Tr%C3%A4gheitsmoment_der_homogenen_Vollkugel
Ich suche eine genaue Definition für C.
Da gibt es keine Definition. C ergibt sich rechnerisch aus der Geometrie des Körpers durch Integrieren über die einzelnen Massenelemente.
Je mehr sich die Konstante der 1 nähert (größer geht nicht), umso mehr konzentriert sich die Masse außen. Je kleiner die Konstante, umso mehr der rotierenden Masse liegt in der Nähe der Drehachse.
1/3 ist weniger als 2/5. Das Trägheitsmoment der Erde ist kleiner als das einer homogenen Vollkugel gleicher Masse. Die Masse der Erde muss demnach näher an ihrem Mittelpunkt konzentriert sein als bei einer homogenen Vollkugel. Das liegt daran, dass die Erdschichten aus unterschiedlich dichten Materialien bestehen. Der Erdkern besteht aus Eisen und Nickel. Seine Dichte ist damit höher als die Dichte des Erdmantels, der hauptsächlich aus leichteren Elementen wie Silizium, Magnesium und Sauerstoff besteht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Innerer_Aufbau_der_Erde
Die Berechnung des Trägheitsmoments geht, wie schon gesagt wurde, mit einem Integral, das die Massendichte der Volumenelemente, malgenommen mit dem Quadrat ihres Abstands von der Rotationsachse, über das ganze Volumen des Körpers aufaddiert.
Hier sind einige Ergebnisse für verschiedene Körperformen:
http://info.itm.uni-stuttgart.de/courses/madyn/merkblaetter/M13.pdf
Hier wird gezeigt, wie man das Trägheitsmoment einer Kugel berechnet, aber nur das einer homogenen Kugel, deren Dichte überall gleich ist.
https://www.youtube.com/watch?v=rBcm6jdlIyM
Für die Erde wird die Rechnung komplizierter, da ist die Dichte eine Funktion der Koordinaten. Hier wird gezeigt, wie man das auf vereinfachte Weise rechnen kann, indem man für den Erdkern und für den Erdmantel jeweils eine gleichmäßige Dichte annimmt.
Man kann das Trägheitsmoment durch Integration über das Volumen bestimmen.
Massenanteile "weiter außen" tragen mehr bei, Anteile "weiter innen" weniger.
1/3 ist weniger als 2/5. Daher sind mehr Massenanteile "weiter innen", als wenn die Kugel homogen wäre.
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Nur gibt es eine Möglichkeit aus dem Wert heraus zu lesen wo das Gewicht mehr verteilt ist? Unser Physik Dozent hat uns diese Frage gestellt.