Warum ist eine Matrix nicht invertierbar wenn sie nicht den vollen Rang hat?
5 Antworten
Alle Matrizen mit nicht vollem Rang sind nicht invertierbar. Aber nicht jede Matrix mit vollem Rang ist invertierbar ! (Lediglich solche mit quadratischer Gestalt) Für nichtquadratische Matrizen muss der Begriff der Pseudoinversen eingeführt werden ... .
Angenommen die quadratische Matrix A hätte nicht vollen Rang und besitze eine Inverse gegeben durch B, so dass:
AB = BA = E mit der Einheitsmatrix E
Besitzt eine Matrix nicht vollen Rang, so ist der zugehörige Kern der Matrix nicht leer !!! Es existiert also ein v aus ker(A), so dass:
Av = 0 und |v| > 0
Wir multiplizieren nun beide Seiten mit B und erhalten:
BAv = B0 = 0
Mit BA = E und Ev = v folgt dann:
v = 0
nehmen des Betrages auf beiden Seiten liefert also:
|v| = 0
dies ist ein Widerspruch.
Es folgt somit also, dass die Matrix A aufgrund nicht vollen Ranges nicht invertierbar ist.
Geometrisch gesehen ist die Determinante der Faktor, um den die lineare Transformation das Volumen einer Menge vergrößert (wobei ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt). Wenn eine Matrix nicht vollen Rang hat, ist ihre Determinante 0, und jede Menge in deinem Ursprungsraum wird auf eine Menge mit Volumen 0 geschickt. Bsp: Im R3 schickt eine Abbildung mit Rang 2 alles auf eine Teilmenge einer Ebene (Volumen 0), mit Rang 1 alles auf eine Teilmenge einer Gerade (ebenfalls Volumen 0). Wenn deine Matrix invertierbar wäre, dann hättest du eine Menge von Volumen 0, die auf eine Menge mit Volumen > 0 zurückgebildet wird. Dieses Inverse hätte dann ne ziemlich große (unmöglich große) Determinante.
LG
Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Zeilenvektoren (oder Spaltenvektoren), die sowohl linear unabhängig als auch ungleich 0 sind.
Ist der Rang einer Matrix kleiner als deren Dimension, existeren also linear abhängige Zeilen (Spalten), und damit ist die Determinate der Matrix 0.
Die Voraussetzung einer Invertierbarkeit einer Matrix M ist aber det (M) != 0.
Das ist keine bloße Wiederholung der ursprünglichen Aussage.
Das ist ein Hinweis für den Frager, wo er mit dem gesuchten Beweis für seine zu untersuchende Aussage anfangen kann.
Ein hilfreiche Antwort - hilfreicher als deine.
Achso. Du hast ja keine. ;-)
Naja überlegdoch mal..
Das Inverse I einer Matrix M ist jenes I, für das gilt: M * I = E.
(E = Einheitsmatrix, die Dimensionen passen hier einfach mal)
Wie soll man zB auf die 1 bei E[1, 1] kommen, wenn die erste Reihe oder die erste Zeile von M nur aus 0ern besteht? (Genau das ist der Fall wenn M nicht den max. Rang hat.) Geht nicht, genau.
eine Matrix, deren Rang nicht voll ist, hat jedoch nicht an und für sich eine Zeile mit 0er Einträgen. Wieso sind die veränderte Matrix und die ursprüngliche äquivalent?
https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz\_(Matrix)
sollte die Lücke schließen.
Wenn du die ursprüngliche Matrix äquivalent ersetzt durch eine Darstellung, in der eine Zeile komplett null ist (sagen wir die vierte), so ist das 4x4 Element der Zielmatrix (A*A^-1 = C) C[4,4] = 0 ebenfalls und niemals 1. Damit kann C auch nicht die Form der Einheitsmatrix annehmen.
Ich nehme jetzt als Definition mal "rg(M) = Anz. der nicht-Nullzeilen von M in ZSF".
Linear abhängige Zeilen erzeugen ja eine Nullzeile in der ZSF.
A • B = C ==> det(A) * det(B) = det(C) ("Determinantensatz" iirc)
Matrix mit nicht-maximalem Rang hat Determinante 0.
M⁻¹ ist definiert durch M • M⁻¹ = E (Einheitsmatrix)
==> det(M) * det(M⁻¹) = 1
==> det(M⁻¹) = 1 / det(M)
Wenn M "singulär" ist (Determinante 0 hat), was müsste dann det(M⁻¹) sein?
und inwiefern ist das mehr als die bloße Wiederholung der Aussage?