Frage zu einer Matrix?

Hi, könnt ihr mir vielleicht sagen, wieso diese Matrix den Rang 2 haben soll. Ich dachte es gilt Zeilenrang= Spaltenrang, wieso ist der Rang nicht 3?

Und ich wollte euch auch noch fragen, ob ich nicht für die Basis von im(f) auch einfach die beiden Spaltenvektoren als Basis verwenden dürfte ((1,1,3)^T,(3,-1,-1)^T), weil in den Lösungen auch hier etwas umständlicher vorgegangen wurde.

VG:)

Answer 1

[nobytree2]

Rang einer Matrix = Zeilenrang = Spaltenrang

Und da die Matrix nur zwei Spalten hat, kann der Rang der Matrix maximal 2 sein.

Aber auch der Zeilenrang ist 2, denn wenn man die dritte Zeile mal (-4) multipliziert und dann zur zweiten dazu zählt, hat man die erste (zwingend, dass auch die Zeilen linear abhängig sind, wenn Zeilenrang > Spaltenrang).

Das Bild ist mit Ax:

$a_{11}x_1+a_{12}x_2$ $a_{21}x_1+a_{22}x_2$ $a_{31}x_1+a_{32}x_2$ Also klar, die beiden Spaltenvektoren bilden die Basis vom Bild, klassisch, da sie linear unabhängig sind. Sind im Übrigen auch nur 2.

Comments

[Qualle12]

Vielen Dank für dein Antwort:) Hätte der Kern dann die Dimension 0 wenn das Bild schon zweidimensional ist?

[nobytree2]

@Qualle12

dim A = dim(Kern(f)) + dim(Bild(f))

also dim(Kern(f)) = dim(A) - dim(Bild(f)) = 2 - 2 = 0

Das passt auch zum Ergebnis: x1 und x2 müssen 0 sein, damit das Bild 0 wird. Wenn A eine Abbildungsmatrix ist, dann ist die Abbildung hier Injektiv, weil der Kern minimal ist, man kann also nicht mit verschiedenen x-Vektoren dasselbe Bild erzeugen.

[Qualle12]

@nobytree2

Vielen Dank für deine Hilfe:)

Answer 2

[Willibergi]

Alles richtig, nur ist der Zeilenrang nicht 3, sondern auch 2, denn

$-4\cdot\left(0,-1\right)^t+1\cdot\left(1,-1\right)^t=\left(1,3\right)^t$

also sind die Zeilenvektoren linear abhängig (das ist auch klar, denn mehr als zwei zweidimensionale Vektoren können nie linear unabhängig sein). Paarweise sind sie jedoch linear unabhängig, also ist der Rang 2 (zeige lineare Unabhängigkeit für beliebige 2 Zeilenvektoren). Allgemein ist der Rang einer Matrix immer höchstens das Minimum aus Zeilen- und Spaltenrang.

Alternativ kann man sehen, dass der Spaltenrang 2 ist (die Spaltenvektoren sind keine Vielfachen voneinander) und damit auch der Zeilenrang 2 sein muss.

Zu deiner zweiten Frage: Klar. Die Dimension des Bildes (der Rang der Matrix) ist 2, die beiden Spaltenvektoren liegen offensichtlich im Bild und sind linear unabhängig. Also bilden sie eine Basis des Bildes.

Answer 3

[Johannes818429]

so weit ich mich erinnere, ist die dimension des kerns der rang. der kern ist eine quadratische matrix innerhalb der matrix,dessen determinante von 0 verschieden ist. und die größte, die du bilden kannst, ist eine 2x2 matrix. und ja, das ginge, du kannst eine matrix durch vektoren so darstellen