Matrix eindeutig lösen - wie?
Hallo Leute, brauche Hilfe zu folgender Matrix:
Aufgabe:
Wie ermittelt man am schnellsten, ob ein lineares Gleichungssystem, wie das obige, eindeutig lösbar ist? Für welche Werte von a hat das obige LGS eine Lösung?
LGS ist eindeutig lösbar da gilt: rang (A) = n = 3
Ich brauche allerdings Hilfe bei dem zweien Teil der Aufgabe!
Danke im voraus!
5 Antworten
Berechne die Determinante als Funktion von a. Schließ a-Werte aus, mit denen die Determinante Null wird.
Das LGS Ax=y ist eindeutig lösbar wenn die Matrix A regulär ist.
Das kannst du in dem Fall einfach über die Determinante von A prüfen, denn eine quadratische Matrix ist dann regulär wenn die Determinante ungleich 0 ist. Somit gilt:
Wenn gilt det(A) = 0 ist das LGS also nicht eindeutig lösbar.
Ein deinem Fall kannst du die Determinante über die Regel von Sarrus recht schnell anschreiben.
LGS ist lösbar, falls der Rang der 3x3 Matrix = Rang der 3x4 Matrix ist (also Rang der normalen Matrix = Rang der Matrix mit dem Lösungsvektor dran). Guck also, bei welchen a sich das nicht verändert.
siehe Mathe-Formelbuch "Cramersche Regel"
eindeutige Lösung,wenn die Koeffizientendeterminate ungleich Null ist
Lösung einer 3*3 Determinate mit der "Regel von Sarrus"
siehe Determinatengesetze
Eine Determinate hat den Wert Null
1) die Elemente von 2 "parallelen" Reihen proportional sind
2) die Elemente einer Reihe eine "Linearkompination" der Elemente "parallele Reihen" sind
3) alle Elemente einer Reihe Null sind
Du musst die Determinante der Matrix berechnen.
Sie ist — in diesem Fall — eine Funktion D(a) der Variablen a.
Die Gleichung hat eine Lösung für genau die Werte a, für die D(a) ungleich 0 ist (da genau dann die Matrix invertierbar ist).