Warum funktioniert das nicht mit dem sinussatz?
Hi,
ich habe den Winkel mit dem Sinussatz gelöst. Es kommt als Ergebnis 64,1grad heraus. Das richtige Ergebnis ist aber 116grad. Was mache ich falsch?? (Siehe Bild)
4 Antworten
Der Sinussatz lautet
a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Gesucht ist β, also
β = arcsin (b / a • sin α)
Mit gegebenen
a = 4,7 cm
b = 10 cm
α = 25°
ist
β = arcsin (10 cm / 4,7 cm • sin 25°)
= arcsin (0,899)
= 64,03° oder 115,97° (!)
Innerhalb von 180° kommt der gleiche Sinuswert jeweils zweimal vor, nämlich bei sin(φ) und bei sin(180° - φ). Das ist eine Eigenheit des Sinus und das musst immer bedenken.
In der Zeichnung kannst sehen, dass β größer als 90° ist. Der „richtige” Wert ist also β = 115,97°.
Nachtrag:
Jeweils zwei gleiche Kosinuswerte hast zwischen 90° und 270° oder von 0-90°und 270°-360°, sprich: Quadranten II und III des Koordinatensystems oder Quadranten I und IV.
Da in Dreiecken keine Winkel über 180° vorkommen, darfst das vernachlässigen.
Ganz am Ende: Du hast nicht berücksichtigt, dass der Sinus eine nicht-eindeutige Funktion ist.
sin(α) = sin(180°-α)
Ob der Winkel jeweils spitz oder stumpf ist, musst du dir auf andere Weise herleiten.
Du musst die 64,1 ° von den 180 ° abziehen, da du vermutlich nicht den innenwinkel berechnet hast sondern den Winkel außen an der gerade "a" zur gerade "c".
Es kommt als Ergebnis 64,1grad heraus.
Vorzeichenfehler?
Die Arkussinusfunktion des Taschenrechners spuckt nur eine von vielen möglichen Lösungen aus.
Zu dem Sinus 0,8986406001 gehört nicht nur der Winkel 63,9795154°, sondern unter anderem auch der Winkel 90°+90°-63,9795154°=116,0200485, was sofort klar wird, wenn man sich den Verlauf der Sinusfunktion betrachtet, die eine Symmetrieachse bei 90° besitzt.
Welcher aller möglichen Winkel der richtige ist, muß dann anhand einer Skizze entschieden werden.
Herzliche Grüße,
Willy
Verstehe ich leider nicht. Wenn ich den sinussatz anwende, dann berechne ich doch automatisch den Innenwinkel, oder?