Warum funktioniert das nicht mit dem sinussatz?

4 Antworten

Der Sinussatz lautet

a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Gesucht ist β, also

β = arcsin (b / a • sin α)

Mit gegebenen

a = 4,7 cm
b = 10 cm
α = 25°

ist

β = arcsin (10 cm / 4,7 cm • sin 25°)
   = arcsin (0,899)
   = 64,03° oder 115,97° (!)

Innerhalb von 180° kommt der gleiche Sinuswert jeweils zweimal vor, nämlich bei sin(φ) und bei sin(180° - φ). Das ist eine Eigenheit des Sinus und das musst immer bedenken.

In der Zeichnung kannst sehen, dass β größer als 90° ist. Der „richtige” Wert ist also β = 115,97°.


MatthiasHerz  02.02.2018, 16:01

Nachtrag:

Jeweils zwei gleiche Kosinuswerte hast zwischen 90° und 270° oder von 0-90°und 270°-360°, sprich: Quadranten II und III des Koordinatensystems oder Quadranten I und IV.

Da in Dreiecken keine Winkel über 180° vorkommen, darfst das vernachlässigen.

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Ganz am Ende: Du hast nicht berücksichtigt, dass der Sinus eine nicht-eindeutige Funktion ist.

sin(α) = sin(180°-α)

Ob der Winkel jeweils spitz oder stumpf ist, musst du dir auf andere Weise herleiten.

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Du musst die 64,1 ° von den 180 ° abziehen, da du vermutlich nicht den innenwinkel berechnet hast sondern den Winkel außen an der gerade "a" zur gerade "c".


PrinceW 
Fragesteller
 02.02.2018, 14:15

Verstehe ich leider nicht. Wenn ich den sinussatz anwende, dann berechne ich doch automatisch den Innenwinkel, oder?

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Es kommt als Ergebnis 64,1grad heraus.

Vorzeichenfehler?


Willy1729  02.02.2018, 16:32

Die Arkussinusfunktion des Taschenrechners spuckt nur eine von vielen möglichen Lösungen aus.

Zu dem Sinus 0,8986406001 gehört nicht nur der Winkel 63,9795154°, sondern unter anderem auch der Winkel 90°+90°-63,9795154°=116,0200485, was sofort klar wird, wenn man sich den Verlauf der Sinusfunktion betrachtet, die eine Symmetrieachse bei 90° besitzt.

Welcher aller möglichen Winkel der richtige ist, muß dann anhand einer Skizze entschieden werden.

Herzliche Grüße,

Willy

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