Wann Produktregel, wann Kettenregel - Mathematik?

Hallo,

kann mir jemand kurz erklären, wann man die Produktregel oder wann die Kettenregel anwenden muss? Am besten mit leichten Beispielen ohne E-Funktion, damit ich den Unterschied gut sehen kann.

Answer 1

[TBDRM]

Produktregel:

Die Produktregel kannst Du immer anwenden, wenn Du ein Produkt hast, in diesem in dem einen Faktor eine Variable, sowie in dem anderen eine vorkommt.

Beispiele:

• $x\cdot\sin\left(x\right)$
• $\ln\left(x\right)\cdot x$
• $x\cdot\left(7+x\right)$
• $x^2\cdot\sqrt{2+3x}$

Die Ableitungsregel gilt wie folgt:

$\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)´=u´\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot v´\left(x\right)$

Beispiele mit Ableitung (links Ausgangsfunktion, rechts Ableitung)

• $x\cdot\sin\left(x\right)\rightarrow\ 1\cdot\sin\left(x\right)+x\cdot\cos\left(x\right)=\sin\left(x\right)+x\cdot\cos\left(x\right)$
• $\ln\left(x\right)\cdot x\rightarrow\ \frac{1}{x}\cdot x+\ln\left(x\right)\cdot1=1+\ln\left(x\right)$
• $x\cdot\left(7+x\right)\rightarrow\ 1\cdot\left(7+x\right)+x\cdot\left(0+1\right)=7+2x$

Kettenregel:

Die Kettenregel kannst Du immer verwenden, wenn Du einen Ausdruck hast, der in einem anderen "drinnen" ist.

Zum Beispiel kannst du v(x)=2x in u(x)=sin(x) packen, also u(v(x))=sin(2x).

Beispiele:

• $\sqrt{2x+1}$
• $\cos\left(x^2\right)$
• $3\cdot\left(7x^3-4\right)$
• $\frac{1}{x+2x^2}$

Die Ableitungsregel gilt wie folgt:

$\left(u\left(v\left(x\right)\right)\right)´=u´\left(v\left(x\right)\right)\cdot v´\left(x\right)$

Beispiele mit Ableitung (links Ausgangsfunktion, rechts Ableitung)

• $\sqrt{2x+1}\rightarrow\ \frac{1}{2\cdot\sqrt{2x+1}}\cdot2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$
• $\cos\left(x^2\right)\rightarrow\ -\sin\left(x^2\right)\cdot2x=-2x\cdot\sin\left(x^2\right)$
• $3\cdot\left(7x^3+4\right)\rightarrow3\cdot21x^2=63x^2$
• $\frac{1}{x+2x^2}\rightarrow\ -\frac{1}{\left(x+2x^2\right)^2}\cdot\left(1+4x\right)=-\frac{1+4x}{\left(x+2x^2\right)^2}$

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Comments

[TBDRM]

Bei der Kettenregel ist im ersten Beispiel u(x)=Wurzel(x) und v(x)=2x+1 ;)

Answer 2

[Volens]

Produktregel bei f(x) = (x² - 3) * (2x³ - x² + 7)
f' = uv' + vu'

Kettenregel bei f(x) = (x² - 4)³
Ganze Klammer wie x behandeln,
dann mal Ableitung Klammerinhalt

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 3

[Hamburger02]

Produktregel: wenn zwei Funktionen über eine Multiplikation miteinander verbunden sind.

Kettenregel: wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt (verkettet) sind.

...das sagt aber eigentlich schon der jeweilige Namen der Regel.

Answer 4

[Binomi352]

Ich nehme mal als Beispiel: $g\left(x\right)=\sin\left(x\right)$

$f\left(x\right)=x^2$

die Produktregel nimmt man bei Produkten, also:

$f\cdot g=\sin\left(x\right)x^2$ Die kettenregel nimmt man bei verkettung:

$f\left(g\right)=\sin\left(x^2\right)$

Answer 5

[Maxi170703]

f(x) = x^2 * ln(x)

df(x)/dx = x^2 * 1/x + 2x*ln(x)

g(x) = ln(5x^2-7x)

dg(x)/dx = (10x-7)*1/(5x^2-7x)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen - 8. Fachsemester