Woher weiß man, wann man die Produktregel und wann man die Kettenregel andwenden muss?
Hey, ja mein problem ist, dass ich nicht weiß, wann man die und wann man die andere Regel anwenden muss. Und Erklärungen wie: Produktregel muss man andwenden, wenn ein produkt vorhanden ist und kettenregel wenn die funktion verschachtelt ist helfen mir iwie nicht weiter weil ich z.b nicht genau weiß, was mit einem produkt gemeint ist. Also könnt ihr mir das ganz einfach erklären, also für dumme?:D
5 Antworten
Die Produktregel kannst du eigentlich bei jedem Produkt, also bei jeder Mulitplikation, anwenden (da muss nicht umbedingt ein " * " dazwischen stehen). Nur ist es manchmal nicht nötig:
[2x] ' mit Produktregel: = [2] ' *x + 2 * [x] ' = 0*x+2*1 = 2
Wenn du also eine Konstante mal eine Fuktion von x (im Bsp. einfach x) hast, kannst du den ersten Teil einfach weglassen (da die Konstante abgeleitet = 0 gibt).
(Falls dir diese Notation nicht gebräuchlich ist: [2x] ' soll bedeuten 2x abgeleitet.)
Also die Produktregel immer anwenden, wenn du zwei von x abhängige Terme multiplizieren musst.
Z.B. 2x*cos(x): 2x ist von x abhängig und cos(x) ist auch von x abhängig.
Die Kettenregel musst du anwenden wenn du sozusagen die Funktion einer Funktion hast (beide von x abhängig):
Äussere Funktion f(x)=cos(x) & Innere Funktion g(x)=2x
Die Funktion f(x) von g(x): f(g(x)) = cos(g(x)) = cos(2x)
-> Verstehst du so die "Verschachtelung"?
Hier hast du also eine Funktion (g(x)=2x) innerhalb einer anderen Funktion (f(x)=cos(x)) und die Kettenregel kommt zu zuge.
Wenn die eine Funktion in der anderen enthalten ist.
Kettenregel z.B. in f(x) = sin(ln x)
Da gibt es zum einen sin(x), aber das x (also ln x) ändert sich mit jedem x Wert anders. Daher ist die Ableitung die innere Funktion abgeleitet mal die äußere Funktion, also f'(x) = (ln x)' * sin'(ln x) = 1/x * cos(ln x)
Bei der Produktregel tritt das halt nur bei Produkten auf, die unabhängig von einander sind. Also z.B. g(x) = cos(x) * sin(x)
Beim produkt haste eben was mit nem * getrennt
Also produktregel wendet man dann immer an wenn ein mal zwischen zwei prrodukten steht und kettenregel?
a*b ist ein Produkt
a(b(x)) ist eine Verschachtlung nicht mit a*(b(x)) verwechseln, das wäre auch ein Produkt.
a(b(x)) ist so gemeint:
In Worten geschrieben a(b(x)) <=> a von (b von x).
a ist eine Funktion a(x), anstelle von x kommt bei Verschachtelung aber nicht einfach x rein, sondern eine Funktion b(x) rein
z.B.:
a(x) = sin(x)
b(x) = x^2
->
a(b(x)) = sin(x^2)
Produktregel anwenden,wenn die Terme mit x ein "Produkt" bilden und nicht zusammengefasst werden können.
Deshalb heißt das "Produktregel" !!
Beispiel f(x)= sin(x) *cos(x) eine Zusammenfassung ist hier nicht möglich
f(x) = x^2 * 3 x = 3 *x^3 eine Zusammenfassung ist hier möglich,deshalb keine Produktregel anwenden,weil die Zusammenfassung einfacher ist.
Die Produktregel kann aber angewendet werden,ist aber aufwendiger !!
Die Kettenregel wird angewendet,wenn die f(x) von der elementaren Ableitung abweicht.
Beispiel : f(x)= e^x abgeleitet ergibt f´(x)=e^x siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Differentationsregeln" ,elementare Ableitungen.
f(x)= e^(2*x) hier Kettenregel anwenden !
z=2 *x abgeleitet z´=2 und f(z)= e^z abgeleitet f´(z)=e^z
Kettenregel "innere Ableitung" mal "äußere Ableitung"
f´(x)= f´(z) * z´=2 * e^z=2 *e^(2*x)
Das selbe gilt dann auch für andere Funktionen.
Beispiel : f(x)=sin(2*x) und f(x)= cos(3 *x) oder f(x)= ln( 2*x+2)
oder f(x)= (3 *x^2 + 3)^3