Wann brauch ich die Kettenregel, wann die Produktregel?
Hallo! Ich schreibe Montag ne Matheklausur und bin grad dabei zu lernen. Die Kettenregel und die Produktregel an sich versteh ich, nur ist mir noch nicht ganz klar, wann ich welche benutzen muss. Mit beiden rechnet man doch die Ableitung einer Funktion.. Ich wär sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte :)
2 Antworten
Die Produktregel kann angewendet werden, wenn der Funktionsterm der abzuleitenden Funktion aus Produkten zweier oder mehrerer Funktionen besteht.
Beispiel:
f ( x ) = sin ( x ) * ( x + 1 )
Hier besteht f ( x ) aus dem Produkt der Funktionen u ( x ) = sin ( x ) und v ( x ) = ( x + 1 ) Somit kann f ( x ) nach der Produktregel
f ' ( x ) = u ' ( x ) * v ( x ) + u ( x ) * v ' ( x )
abgeleitet werden, also:
f ' ( x ) = cos ( x ) * ( x + 1 ) + sin ( x ) * 1
.
Die Kettenregel kann angewendet werden, wenn der Funktionsterm der abzuleitenden Funktion aus einer Funktion besteht, deren Argument wiederum eine Funktion ist ("verkettete Funktionen")
Beispiel:
f ( x ) = sin ( x ² +1 )
Hier hat f ( x ) die Form
f ( x ) = g ( h ( x ) )
mit
h ( x ) = x ² + 1
und
g ( x ) = sin ( h ( x ) )
Nach Kettenregel gilt dann:
f ' ( x ) = h ' ( x ) * ( g ' ( h ( x ) )
= 2 x * cos ( x ² + 1 )
Die Produktregel bei einem Produkt: f(x) = g(x) ∙ h(x)
Die Kettenregel bei einer Verkettung: f(x) = g(h(x))
Es kann auch beides gleichzeitig vorkommen: f(x) = g(h(x)) ∙ u(x)
Dann müssen logischerweise beide Regeln angewandt werden. In welcher Reihenfolge man die Regeln anwendet, spielt keine Rolle; unter Umständen kann der Rechenweg dadurch mal länger oder kürzer werden.
danke!:) wenn beides gleichzeitig vorkommt, wie muss ich denn dann vorgehen?
In dem Beispiel f(x) = g(h(x)) ∙ u(x):
f '(x) = g(h(x)) ∙ u(x) = | Produktregel
(g(h(x))'·u(x) + g(h(x))·u'(x) = | Kettenregel
g'(h(x))·h'(x)·u(x) + g(h(x))·u'(x)
Aber besser, man übt das an konkreten Beispielen.
danke!:) wenn beides gleichzeitig vorkommt, wie muss ich denn dann vorgehen?