Vollständige Induktion?
Kann mir da jemand Helfen? Schon mal danke im Voraus :)
3 Antworten
Hallo,
bei solchen Aufgaben bildest Du am besten die ersten Glieder der Reihe und versuchst, Gesetzmäßigkeiten zu entdecken.
Die Reihe fängt so an:
1
1+8=9
1+8+27=36
1+8+27+64=100
1; 9; 36 und 100 sind 1, 3², 6² und 10².
Bei 1; 3; 6; 10... sollte es klingeln: Gab es da nicht den kleinen Gauß?
Die Reihe der natürlichen Zahlen fängt so an:
1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10.
Auch hier taucht wieder die Folge 1; 3; 6 und 10 auf - nur diesmal in erster Potenz statt in zweiter.
Die bekannte Summenformel für die Reihe der natürlichen Zahlen lautet
(n/2)*(n+1).
Es liegt nahe, daß die Summe der Kubikzahlen von 1³ bis n³ als [(n/2)*(n+1)]² geschrieben werden kann.
Das läßt sich dann - wenn es stimmt - leicht durch die vollständige Induktion beweisen.
Herzliche Grüße,
Willy
Als Erstes würde ich bei so was immer einen Polynomansatz probieren.
Berechne die ersten paar Glieder der Reihe und berechne dazu die Differenzen 1., 2., ... Ordnung, bis irgendwann nur noch Nullen in einer Spalte stehen. Dann dürfte das Aufstellen des Polynoms und danach der Induktionsbeweis nicht mehr schwer sein.
Dazu muß man doch nur "Summe der Kubikzahlen" in eine bekannte Suchmaschine namens Gockel oder so eingeben und erhält als allerersten Treffer
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel3.htm
Eingenständige Recherche ist eine Grundvoraussetzung für ein Studium.
[(1/2)*n*(n+1)]²