Vollständige Induktion bei Folgen?
Was genau macht man bei dem Induktionsschluss? Wie kommt es am Ende dazu, dass -2 < a_n+1 < 0
Warum ist lim an = a = a^2 + 6a / 12 -6a
1 Antwort
Hi,
das Problem bei den Lösungsvorschlägen ist, dass sie (mMn) oft nicht nachvollziehbar sind, gerade wenn man noch am Anfang des Studiums steht.
Du hast a_1 = -1 als erstes Glied der rekursiv angegebenen Folge bereits gegeben. a_2 ergäbe sich durch Einsetzen von a_1 in den Term:
Damit erhältst du a_2 = -5/18. Der Term liegt auch zwischen -2 und 0.
Soweit erstmal zur Folge an sich. Nun zum Beweis.
Der Induktionsanfang prüft die Behauptung für das erste n, also hier für n=1. Da a_1 bereits -1 ist, ist der Schritt sehr schnell abgeschlossen.
Die Induktionsvoraussetzung ist nun, dass a_n zwischen -2 und 0 liegt. Die brauchen wir im Induktionsschritt.
Der Induktionsschritt ist nun: Wenn das für ein n gilt, gilt das auch für n+1. Du setzt für n also n+1 in deine Folge ein und kannst über Umformungen und Berechnungen den Beweis vollbringen. .
Es wurde a_n ausgeklammert. Dadurch ermöglichen wir es uns, Grenzen zu ermitteln und diese anschließend in Abhängigkeit von a_n ausdrücken zu können. Wir erhalten also die Form
Wir arbeiten nun nur mit dem Bruchterm weiter und setzen die Grenzen -2 und 0 ein, zwischen denen der Term ja liegen muss (durch die IV, die die beiden Grenzen für a_n vorgibt). Bei -2 ergibt sich 1/6 (ungekürzt 4/24) und bei 0 dann entsprechend 1/2. Das sind die Grenzen, zwischen denen die Werte des ausgeklammerten Bruchterms liegen.
Jetzt müssen wir natürlich a_n wieder dazu nehmen, da wir das vorher ausgeklammert haben. Wir haben also 1/6*a_n und 1/2*a_n als Grenzen, zwischen denen a_(n+1) liegen muss.
Da a_n kleiner als 0 ist, ist a_n immer kleiner als 1/2*a_n. Dies ist logischerweise kleiner als a_(n+1), da wir nun wieder a_n als Faktor hinzu genommen haben und a_n mit dem Bruchterm multipliziert genau die Folge a_(n+1) ergibt.
Da a_n zwischen -2 und 0 liegt, haben wir bei den äußeren Grenzen, wenn wir a_n berücksichtigen, automatisch Werte zwischen -2 und 0. Denn: a_n ist kleiner als 1/2 a_n, da ein Bruchteil einer negativen Zahl immer größer ist als die Zahl selbst. zB sind 1/6 von -1,2 dann -0,2 und das ist größer als 1/2*a_n mit -0,6. 1/6*a_n ist somit auch allgemein größer als 1/2*a_n, denn je größer der Nenner, desto näher liegen wir an Null.
Da a_n kleiner als Null ist, gilt dieser Zusammenhang hier immer. Somit muss die Aussage auch für a_(n+1) gelten, da a_n < 0 und -2 < a_n < 0 (IV).
Zum Limes: Die Behauptung ist, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Dass a_(n+1) > a_n, wurde in Teilaufgabe 1 bereits gezeigt. Die Folge ist somit monoton wachsend. Ich denke, die Ausführungen im kurzen Text sind an sich nachvollziehbar.
Es ist a als der Limes von n -> Unendlich der Folge a_n definiert. Man kann also a_n durch a ersetzen und den Grenzwert bestimmen.
Ich hoffe ich konnte helfen, bei Fragen melde dich.
LG