Verwirrung bei Wertebereich bei Hintereinanderausführung?
Hallo!
Ich muss eine Aufgabe kontrollieren, welche mich etwas verwirrt.
Also ich habe die Funktionen:
f: ℝ -> [0, ∞[, f(x):= x²
h: [0, ∞[0, ∞[, h(x):= Wurzel aus x
Meine Lösung bei der Hintereinanderausführung f o h ist, dass am Ende x herauskommt. Und x ist ja für alle Reellen Zahlen sowohl im Werte als auch im Definitionsbereich definiert.
Die Lösung welche ich kontrolliere schlussfolgert jedoch folgendes:
f o h: [0, ∞[, (foh) (x) = f(h(x)) = ( Wurzel aus x)² = x
und sagt, dass der Definitionsbereich der Bereich der Reellen Zahlen für alle Elemente x größer gleich 0 ist. Das gleiche gilt für den Wertebereich für alle y.
Habe ich etwas falsch verstanden oder wie sieht die Lösung aus?
2 Antworten
f(x)=x ist für komplett R definiert, aber nicht f(x)=Wurzel(x)², und davon musst Du ausgehen! Durch das "ausrechnen" veränderst Du die Definitionsmenge, ähnlich wie bei Funktionen mit (be-)hebbaren Definitionslücken: f(x)=x(x+1)/(x+1) ist zwar ausgerechnet auch f(x)=x, was für komplett R definiert ist, aber hie rmuss auch der Zusatz dahinter: und x<>-1, denn beide Funktionen (vorher/nachher) sind nicht identisch.
Dann weiß ich Bescheid - vielen lieben Dank fürs erklären :)
f nach h ist x, korrekt. Der Definitionsbereich ist dabei aber eingeschränkt auf [0, oo) und der Wertebereich auf [0, oo). x wäre theoretisch auch für negative Werte definierbar, das spielt hier aber keine Rolle.