Mathe: n-te Wurzel und Definitionsbereich?
hallo
könnt ihr mir bitte helfen, ich verstehe die Lösung nicht.
Aufgabe: Für welche x ist der Term definiert?
a) (x+7)^(2/3) ------ Lösung: x größer gleich - 7
Warum??? Wie geht man da vor?
3 Antworten
Nun, ich vermute du bist noch in der Schule, oder? Dann frage dich mal, für welchen Zahlenbereich die Wurzel einer Zahl definiert ist. Weißt du was ^(2/3) bedeutet? Was bedeutet es für x+7 wenn x kleiner als -7 ist? Diese Hinweise sollten dich hoffentlich weiter bringen, wenn nein sag einfach im Kommentar warum nicht.
Ah, da kommen wir nun an den Kern deines Problems. Nein, wenn x grösser als -7 ist ist x+7 zwingend grösser als Null. Schau dir das auf der Zahlengeraden noch mal an. Du wirst nie in die Lage kommen solche Themen zu verstehen wenn du das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen nicht verstehst.
Dann von unterwegs: wie @gogogo schon sagt, sieht gut aus, klasse! Jetzt hast du alles zusammen.
- Du hast einen Term unter einer Wurzel
- du weißt, Wurzeln sind nur für positive Argumente definiert
- du hast ausgerechnet unter welchen Bedingungen der Term positiv ist.
Ist das jetzt verständlich?
So, ich habe jetzt sowohl in der Wikipedia wie in meinem alten Analysis I Lehrbuch (Heuser: Analysis I) nachgeschlagen. Die Potenz mit rationalem Exponenten (also das was wir hier vorliegen haben) ist tatsächlich nur für Argumente > 0 definiert. Demzufolge hätte ich mir den Verweis auf die Wurzeln sparen können. Sorry dass ich dich hier so verwirrt habe. Kernpunkt ist also: Du mußt heraus bekommen, wann das Argument unter der Potenz < 0 wird, ab diesem Punkt ist die (rationale) Potenz schlicht und ergreifend nicht definiert. Dazu solltest du dir noch mal anschauen, wie diese bei euch eingeführt wurde.
Achtung, das gilt natürlich nicht für natürliche Potenzen. Diese sind für Argumente kleiner Null sehr wohl definiert!
Nachtrag: Ich finde es übrigens toll, dass du so gut mit gemacht hast, versucht hast den Lösungsweg zu begleiten und auch sinnvolle eigene Beiträge eingebracht hast (mit dem "aber unter der Wurzel ist doch ein Quadrat dann wird die zahl unter der Wurzel wieder positiv" kannst du bestimmt prima deinen Lehrer verwirren, probier das doch mal aus :-)). Das hebt sich wohltunend von anderen FragestellerInnen ab, die nur sagen "gib mir die Lösung und lass mich in Ruhe". Wenn du so weiter arbeitest wird Mathematik für dich kein Problem darstellen.
Entsprechende Potenzen b^k mit nicht-ganzzahligem Exponenten k sind dann definiert, wenn die Basis b der Potenz nicht-negativ ist, also wenn b ≥ 0 ist.
Dementsprechend muss hier also die Basis x + 7 der Potenz (x + 7)^(2/3) nicht-negativ sein. D.h. es muss x + 7 ≥ 0 sein. Um dies nach x aufzulösen kann man mit 7 addieren und erhält so die Bedingung x ≥ -7.
Die Aufgabenstellung läuft darauf hinaus, dass man aus negativen Zahlen kein Wurzeln ziehen darf.
Dem stimme ich nicht ganz zu, da z.B die dritte Wurzeln (und um eine solche geht es hier) aus einer negativen Zahl sehr wohl eine reelle Zahl ist.
Allerdings gibt es Definitionen für Wurzeln / gebrochene Potenzen, die sich um diese Art Sonderfall nicht kümmern.
Tatsächlich ist die n-te Wurzel im reellen nur für positive Argumente definiert, siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Definition,_Sprech-_und_Schreibweisen
Hier wird aber nur auf den Fall eines positiven Radikanden eingegangen, aber keine Einschränkung des Definitionsbereichs gemacht.
Im Reellen sind Wurzeln aus negativen Zahlen zu ungeraden Wurzelexponenten leicht sinnvoll definierbar - im Komplexen entspricht das nicht der üblichen Definition als der Lösung mit dem kleinsten (nichtnegativen) Argument, sondern einer Definition als der Lösung mit einem Imaginärteil kleinsten Betrages (bei zwei gleichen dem mit positivem Imaginärteil oder/und positivem Realteil) oder der Lösung mit kleinstem nichtnegativem Imaginärteil (bei Gleichheit mit positivem Realteil).
Die Definition wird überhaupt nur für positive Argumente eingeführt. Natürlich kann man sie bei ungeraden Potenzen auf negative Argumente sinnvoll erweitern. Aber das verwirrt gerade in der Schule mehr als es nutzt. Ebenso wie der Verweis darauf, das im Komplexen die Wurzel sehr wohl für negative Argumente definiert ist.
Die Gleichung
x^n = a
mit reellem a und ungeradem n hat immer genau eine reelle Lösung für x.
Bei der Definition als die einzige Lösung, falls nur eine existiert, bzw. der positiven Lösung, falls zwei existieren, sind derartige Wurzeln selbstverständlich mit definiert. (So habe ich es in der Schule kennengelernt und die anderen Definitionen später dazugelernt.) Allerdings muss man dann an anderer Stelle Zugeständnisse / Fallunterscheidungen / ... machen: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen
Die Definition wird überhaupt nur für positive Argumente eingeführt.
Das ist ja etwas anderes als
Tatsächlich ist die n-te Wurzel im reellen nur für positive Argumente definiert,
.
Wie dir vielleceicht aufgefallen ist, habe ich in meiner Antwort das Wort "Definition" nicht verwender - mit Absicht, da ich gerade diese Diskussion vermeiden wollte.
Fakt ist aber, dass die meisten Taschenrechner oder auch Excel als Ergebnis von z.B. (-8)^(1/3) als Ergebnis -2 liefern.
Aber wie dem auch sei. Ich wollte eigentlich nur sicherstellen, dass ich in deinem Link nicht überlsesen habe, dass Wurzeln für negative Zahlen im reellen nicht definiert sind.
Aber das verwirrt gerade in der Schule mehr als es nutzt.
Darum geht es ja nicht.
(Auch nicht darum, dass ich es eher verwirrend finde, zu sagen: es gibt keine reelle Zahl a für die gilt: a³ = -8)
ich denke darüber nach, aber leider nicht
zahlenbereich sind doch die reellen Zahlen
kannst du mir das einfacher erklären bitte