Verschiebung der Kosinusfunktion interpretieren?

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Ich übe zurzeit, die Verschiebungen darzustellen, aber irgendwie mache ich ständig etwas falsch.

Die Periodenlänge habe ich wie folgt berechnet: 2pi/b; in diesem Fall also 2pi/0,5 = 4pi

Dann habe ich mir einen Punkt ausgesucht und von diesem aus die Periode auf 4pi verlängert. Im Anschluss habe ich jeden Punkt um pi halbe nach links entlang der x-Achse verschoben.

Anschließend habe ich es mir GeoGebra abgeglichen und siehe da: Mein Ergebnis war natürlich mal wieder falsch.

In meiner eigenen Darstellung habe ich nämlich bei x= -pi/2 einen Hochpunkt, auf GeoGebra wird aber ersichtlich, dass einer der Hochpunkte bei -pi auftritt. Ich verstehe allerdings überhaupt nicht, wie das sein kann, weil ich dachte, dass ich den ursprünglichen Hochpunkt bei H(0 I 1) um -pi/2 verschiebe und somit auf G (-pi/2 I 1) lande, aber es ist (-pi I 1).. ich verstehe es nicht..

1 Antwort

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet

TBDRM

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

rechnen, Funktion, Gleichungen

25.07.2024, 14:08

Allgemein sieht es so aus. Hast du eine Kosinusfunktion gegeben, dann beschreibt der Faktor a die Amplitude (Höhe der Extrempunkte zur x-Achse), b die Periodenlänge, c die horizontale Verschiebung und d die vertikale Verschiebung ist. Sie hat dann die Form

f(x) = a • cos(2π / b • (x – c)) + d.

Also bei dir lese ich raus, dass du die Kosinusfunktion so transformieren möchtest, dass sie die Periodenlänge 4π hat und um π/2 nach links verschoben wird, richtig?

Das bedeutet, dass keine Veränderung der Amplitude und keine vertikale Verschiebung vorliegt, also ist a = 1 und d = 0.

Die Periodenlänge soll 4π sein, also ist b = 4π. Die horizontale Verschiebung soll π/2 nach LINKS sein, also ist c = –π/2.

Setzen wir alles in die Funktion oben ein, erhalten wir unsere Transformation:

f(x) = 1 • cos(2π / (4π) • (x – π/2)) + 0,

f(x) = cos(1/2 • x – π/4).

Woher ich das weiß:Hobby – Mathematik (u. Physik)

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“Geben Sie alle exakten Lösungen im Intervall [0; 2pi] an.“

—> Berechnung der Periode:

p = 2pi / k

p = 2pi / (pi/3)

p = 6

Bei anderen Aufgaben kommt immer „p = Zahl pi“ raus. Also immer ein pi dahinter. Und eine Zeichnung von Sinus zum Beispiel geht immer bis 2pi bis der ganze „Kreis“ abgebildet ist.

(Beispiel andere Aufgabe, wo ich es verstehe:

Intervall [0; 2pi]

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—> Berechnung der Periode:

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p = 2pi / (1/2)

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)

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sin(2x) = -0,5 (Berechnung im Intervall (I = 0;2pi))

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Periodenlänge bestimmen:

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sin(2x) = -0,5 I Substitution

mit: 2x = u

sin(u) = -0,5 IWTR

u = -pi/6 I Resubstitution

mit: u = 2x

-pi/6 = 2x I*0,5

-pi/12 = x

Zunächst habe ich aufgegriffen, dass dieses Ergebnis sich nicht innerhalb von I befindet.

Ab da wusste ich nicht mehr genau weiter. Ich habe in einem YouTube-Video gehört, die erste Lösung erhält man dann über die Berechnung mit (halber Periodenlänge - x):

Halbe Periodenlänge hier: pi/2

somit x1= pi/2 - (-pi/12) = pi/2 + pi/12 = 7pi/12

Damit hätten wir x1 und soweit ich weiß, berechnet man weitere Lösungen dann allgemein mit:

x= 7pi/12 * k*pi (k Element Z)

aber es gibt ja dann immer noch eine zweite Lösung, mit der man dann eine weitere allgemeine Gleichung für die weiteren Lösungen aufstellen kann. Wie berechne ich diese nun ?

Laut Lösung (OHNE Lösungsweg, das ist eben mein großes Problem) müsste nämlich die nächste Lösung (nach 7pi/12) 11pi/12 sein und durch Ausprobieren am Taschenrechner bin ich auf 3pi/2 - 7pi/12 = 11pi/12 gekommen, aber ich verstehe nicht, wie sich dies ergibt, bzw. was eben der Ansatz für diesen Schritt ist.

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mir selbst kommt leider nur genau die hälfte raus.

----------------------------------

Meine Rechnung:

sqrt(3) * sin(x/2) + 3 * cos(x/2) = 0 .................../ - 3 * cos(x/2)

sqrt(3) * sin(x/2) = -3 * cos(x/2) ......................../ ^2

3 * sin^2(x/2) = 9 * cos^2(x/2) .........................../ : 3

sin^2(x/2) = 3 * cos^2(x/2) ................................./ sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

1 - cos^2(x/2) = 3 * cos^2(x/2) .........................../ + cos^2(x/2)

1 = 4 * cos^2(x/2) ................................................/ : 4

1/4 = cos^2(x/2) ................................................../ sqrt()

1/2 = cos(x/2) ...................................................../ arccos()

arccos(1/2) = x/2 ................................................/ * 2

x = 2 * arccos(1/2)

2 * arccos(1/2) = 2pi/3 ; richtige Lösung is aber 4pi/3

----------------------------------

Ich habe leider keine Ahnung wo ich falsch abgebogen bin, daher wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen würde.

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