Uneigentliches Integral - Grenze ins Unendliche?
Wenn f(x)=2xe^(-0.5x^2) die Ausgangsfunktion ist und die Aufgabe dazu: Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x=u mit ueR+ schließen für 0<=x<=u ein Flächenstück mit dem Inhalt A(u) ein. Zeigen sie, dass A(u)= 2-2e^(-0.5u^2) gilt.
Wie geht man dann vor? Bzw. ich weiß, dass der Graph für x gegen Unendlich gegen 0 läuft und da das Intervall von 0 bis u gegen Unendlich gegeben ist, lässt sich A berechnen, was in dem Fall A(u)=2 ist. Aber wie kommt man auf A(u)= 2-2e^(-0.5u^2)?
Es ist ja allgemein F(u)-F(0), oder?
Danke schonmal im Voraus.
2 Antworten
Es ist ja allgemein F(u)-F(0), oder?
Ja, das kann man so sagen. Dies folgt hier mit Hilde des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Und wo ist nun konkret dein Problem?
Ich würde das so lösen ...
Das mit u → ∞ sehe ich übrigens nicht in der Aufgabenstellung, sondern habe ich nur nochmal dazu aufgeschrieben, da du das erwähnt hast.
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Falls du Probleme haben solltest eine passende Stammfunktion F zu finden, kannst du auch eine Substitution mit t = -0,5x² durchführen.
Beispielsweise so: https://i.imgur.com/2qYBxGF.png
Danke, jetzt hab ichs verstanden ^^... stand etwas aufm Schlauch weil ich jetz seit knapp 6 Stunden schon lerne o.o
f(x)=2*x*e^(-0,5*x²) integriert mit durch Substitution (erstzen)
F(x)=Integral(f(z)*dz*1/z´
Substitution z=-0,5*x² abgeleitet z´=dz/dx=-1*x dx=dz/((-1)*x)
F(x)=Int.(2*x*e^z*dz*1/((-1)*x)=2/(-1)*Int.(e^z*dz
F(x)=-2*e^(-0,5*x²)+C
A=obere Grenze minus untere Grenze
Was ist nun xo=? und was xu=?
nehmen wir x0=unendlich und xu=0
A=(-2*e^(-0,5*xo²))-(-2*e^(-0,5*0²))=-2/e^(-0,5*xo²)+2*1
wir sehen hier F(x)=2-2*e^(-0,5*xo²) oder F(x)=2-2/e^(-0,5*xo²)
Die Aufgabenstellung ist für mich so verwirrend,daß ich nicht xo und xu ermitteln kann.