Wie bestimmt man folgende uneigentliche Integrale?

|sin(x) |/x und sin(x) /x von 0 bis unendlich

Man macht das ja generell mit abschätzen aber bei sinus ist das irgendwie schwierig... Kann jemand helfen?

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Theorie

1. Stammfunktion bilden
2. Konstanten in der Stammfunktion für's Integrieren rauswerfen
3. Integralgrenzen einsetzen

Ausgeführt

1) Stammfunktion bilden

Bilden wir die Stammfunktion kommen wir auf

$f\left(x\right)\ =\ \frac{\sin\left(x\right)}{x}=>F\left(x\right)=Si\left(x\right)\cdot\frac{\sin\left(x\right)}{\left|\sin\left(x\right)\right|}=Si\left(x\right)\cdot\frac{\sin\left(x\right)}{sgn\left(\sin\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)}=Si\left(x\right)\cdot\frac{1}{sgn\left(\sin\left(x\right)\right)}$

Oder wir nutzen gleich die Definition von Integralsinus:

Si(x) := [sin(x) / x]*

2) Logik aka Konstante rauswerfen

sgn(irgendwas) = konstant
=> 1 / sgn(sin(x)) fällt beim integrieren weg, da sgn(sin(x)) konstant ist

$\int_0^∞\frac{\sin\left(x\right)}{x}dx=\left[Si\left(x\right)\right]_0^∞$

3) Einsetzen

lim x -> 0 Si(x) = 0
lim x -> ∞ Si(x) = π / 2
Lösung: lim x -> ∞ Si(x) - lim x -> 0 Si(x) = π / 2 - 0 = π / 2

Lösung

integral_{0}^{∞} sin(x) / x dx = Si(∞) = π/2 = 1,57079632679489661923132169163975144209858469968755291048747229615390820314310449931401741267105853...

Ende

Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.^^
Bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung. :3

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 2

[DualStudieren]

Ich habe keine Ahnung, aber was ist wenn du dich an der Reihenentwicklung bedienst? Die kannst du ja integrieren... Wird beim abschätzen dann halt ziemlich rechenaufwendig. Hast ja nen Computer...

Comments

[LORDderANALYSE]

Wird nicht unbeding aufwendig.
Beim integrieren der Reihenentwiklung kommt man darauf das das Integral von sin(x) / x = Si(x) ist.

Da muss man nur noch die Grenzen einsetzen und fertig ist man:

lim x -> 0 Si(x) = 0
lim x -> ∞ Si(x) = π / 2

=> Lösung = Si(∞) - Si(0) = π / 2 - 0 = π / 2 = 1,57079632679489661923132169...

Der Beweis für den Grenzwert in unendlichen ist auch eigentlich recht simpel:
https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsinus#Eigenschaften

[DualStudieren]

@LORDderANALYSE

Danke für die Antwort. Dann war ich ja doch nicht komplett daneben.

Naja, meinte mit aufwendig eher vom rechnen her. Das Polynom ist ja entsprechend lang, klar schneidet man irgendwann ab der Näherung Willen, aufwendig in TR einzugeben ist es ja schon. Mit der implementierten Si Funktion natürlich nicht mehr ^^