Sind Polynome vom Grad >3 ein Untervektorraum?
Hi, sind Polynome vom Grad >3 ein Untervektorraum?
Gibt es da eine besondere Regel, da man immer wieder davon ließt, dass nur Polynome vom Grad kleiner gleich 3 einen Untervektorraum haben
2 Antworten
Wenn du dich nur auf die Menge der Polynome mit Grad echt größer als 3 beschränkst, dann nein, da die Menge nicht abgeschlossen ist.
Wenn du die Polynome Vom Grad <= n meinst, wo n eine Natürliche Zahl ist, dann ist es ein Untervektorraum vom Vektorraum der Polynome.
Es ist sowohl bezüglich der Addition und Multiplikation nicht abgeschlossen.
Nein, das n wird vorher festgelegt. Ich meinte damit das zum Beispiel die Menge der Polynome mit Grad <= 5 ein Untervektorraum ist.
aha, aber inwiefern ist die Addition nicht abgeschlossen? Denn wenn man zb grad 4 und grad 5 Polynome addiert, erhält man ein Polynom vom Grad 5, und das ist doch größer als Grad 3. Oder verstehe ich die Angabe nicht?
Das hängt vom Körper ab und muss nicht sein. Betrachten wir ℤ/2ℤ[x] und das Polynom f = x⁴, dann ist zwar f vom Grad 4, aber f + f = 0 und damit vom Grad 0.
0 hat aber Grad ∞. Polynome vom Grade größer gleich n>0 sind aber nie ein Untervektorraum unabhängig vom Grundkörper. Dazu kann man einfach x^n+1 und -x^n betrachten. Die Summe ist gleich 1 und damit vom Grad 0.
0 hat aber Grad ∞.
Kann es sein, dass du -unendlich meinst? Denn das ist die Definition die ich kenne
Sind Polynome vom Grad >3 ein Untervektorraum?
Nein, da die Menge in Bezug auf die Vektoraddition nicht vollständig ist.
ist die Menge in der Addition nicht abgeschlossen oder meinst du generell die Menge von den Graden, da es unendlich viele Zahlen über 3 gibt?