Sind folgende Substitutionen richtig?
Sind die folgenden Aufgaben richtig gerechnet oder hatte ich irgendwo einen Denkfehler?
2 Antworten
Generell wäre es hilfreich, jede gefundene Lösung zur Probe in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.
a)
Die Substitution und die Lösungen sind richtig.
Die ursprüngliche Gleichung lautet
[Gl.1] x⁴ – 13x² + 36 = 0
Bei der Rücksubstitution sind die folgenden beiden Aussagen falsch:
" x1² = 4 ⇒ x1 = 2 und x2 = –2 " und " x3,4² = 9 ⇒ x3 = 3 und x4 = –3 "
Aber aus x1² = 4 folgt nicht: x1 = 2 und x2 = –2; zumal hier x2 noch gar nicht definiert ist; sondern es folgt allenfalls x1 = 2 oder x1 = –2.
Hier wird x1 mal als Variable und mal als Konstante verwendet, was zu Fehlern führt.
Richtig müsste es heißen:
" x² = 4 oder x² = 9 ⇒ x = 2 oder x = –2 oder x = 3 oder x = –3.
Damit sind x1 = 2, x2 = –2, x3 = 3 und x4 = –3 Lösungen von Gl. 1."
(Unterscheide: x, z etc. sind Variablen, x1, z2 etc. sind Konstanten.)
d)
Die Substitution und die Lösungen sind richtig.
Bei der Rücksubstitution ist folgende Aussage falsch (siehe a):
" x1² = 4 ⇒ x1 = 2 und x2 = –2 " und " x3,4² = 9 ⇒ x3 = 3 und x4 = –3 "
Ich weiß, während der Schulzeit tut man sich oft schwer, die Herleitung mathematischer Ergebnisse formal korrekt hinzuschreiben. Daher hier mal eine korrekte Herleitung der Lösungen dieser Aufgabe (jede Zeile folgt dabei aus einer oder mehreren früheren Zeilen):
[1] t⁴ – 8 – 2t² = 0 Gl. deren Lösung gesucht ist
[2] z := t² Substitution
[3] z² – 2z – 8 = 0 wg. [1] und [2]
[4] z = (–(–2)±√((–2)²–4·1·(–8)))/(2·1) wg. [3] und
"Mitternachtsformel"
[5] z = 4 oder z = –2 wg. [4]
[6] t² = 4 oder t² = –2 wg. [5] und [2]
[7] t² = 4 wg. [6] und weil stets t²≥0
[8] t = 2 oder t = –2 wg. [7]
Weil mit der Substitution [2] die Aussagen [1] und [3] bis [8] zueinander logisch äquivalent sind, liefert [8] alle existierenden Lösungen von [1].
Würde man hier so vorgehen, dass zwar spätere Zeilen stets logisch aus früheren folgen aber nicht umgekehrt, so wären die erhaltenen Werte für t nicht unbedingt alle Lösungen. Daher müsste man noch durch Proben die Nicht-Lösungen ausscheiden.
f)
Die Substitution ist richtig, aber die Lösungen sind falsch (Vorzeichenfehler):
[1] ½x⁶ – x³ – 4 = 0 zu lösende Gleichung
[2] x⁶ – 2x³ – 8 = 0 [1] mal 2 auf beiden Seiten
[3] z := x³ Substitution
[4] z² – 2z – 8 = 0 wg. [2] und [3]
[4] z = (–(–2)±√((–2)²–4·1·(–8)))/(2·1) wg. [3] und
"Mitternachtsformel"
[5] z = 4 oder z = –2 wg. [4]
[6] x³ = 4 oder x³ = –2 wg. [5] und [3]
[7] x = ³√4 oder x = ³√(–2) wg. [6]
Die Lösungen von [1] sind daher
x1 = ³√4 ≈ +59 und x2 = ³√(–2) ≈ –1,26.
Sind folgende Substitutionen richtig?
Ja, diese Substitutionen sind richtig