Sei N die Menge der natürlichen Zahlen. Geben sie die Mengen N x N und N x N x N an und visualisieren sie diese.?
Hat jemand eine Ahnung was genau damit gemeint ist? Ich schreibe bald eine Matheprüfung, und das ist eine der Übungsaufgaben die ich zur Vorbereitung machen wollte.
5 Antworten
Hallo Archiimedes,
hier steht das '×' für das sog. Kartesische Produkt von Mengen. Seien A und B zwei Mengen, und a ∈ A, b ∈ B. Dann ist das geordnete Paar (a, b) ∈ A×B.
Beispiel Namen von Schachfeldern: Ist A={A, B, C, D, E, F, G, H} und B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, so kann man etwa die Bezeichnung 'E7' für die ,,Heimat" des schwarzen Königsbauern als (E, 7) ∈ A×B auffassen.
Da A und B einander entsprechen, kann man A auch durch B ersetzen und somit (5, 7) schreiben. Dies ist übrigens auch Element von ℕ×ℕ. Dessen Visualisierung wäre demnach eine Art Schachbrett, das nur eine Ecke und zwei Ränder hat, sich aber z.B. nach rechts und oben ins Unendliche erstreckt.
Eine entsprechende Visualisierung des ℕ⨯ℕ⨯ℕ ist auch möglich, gerade eben noch: Als Array aus Würfeln, ebenfqlls mit einer Ecke, aber 3 Seiten und 3 Kanten. Die Position jedes Würfels ist durch 3 Natürliche Zahlen charakterisiert.
Naja, ich denke, dass man die Mengen einmal quasi in aufzählender Schreibweise angeben soll, so dass man erkennen kann, ob du erkannt hast, welche Elemente darin enthalten sind. Und andererseits soll man wohl eine Skizze anfertigen, wie man die Mengen in einem entsprechenden kartesischen Koordinatensystem darstellen kann.
Also für die Menge ℕ × ℕ würde ich beispielsweise aufschreiben...
(Dabei bin ich davon ausgegangen, dass ℕ die natürlichen Zahlen ohne 0 sind. Es gibt auch Mathematiker, die mit ℕ die natürlichen Zahlen mit 0 meinen.)
Nun, NxN ist im wesentlichen Q (mit allen, auch erweiterten Brüchen). Du kannst das zum Beispiel in einer nach rechts und unten offenen Matrix visualisieren. NxNxN zu visualisieren ist etwas komplizierter, da fällt mir nur ein Trick ein. NxN ist ja abzählbar, demzufolge kannst du wieder die nach unten offene Matrix verwenden, diesmal mit der Aufzählung von NxN für die Spalten, nach rechts verwendest du das "dritte" N.
Nun, NxN ist im wesentlichen Q
Nicht wirklich. Q definiert man formal in der Regel als Menge von Äquivalenzklassen von Tupeln aus Z × Z \ {0} bzgl. der Äquivalenzrelation (a,b) ~ (c,d) :⇔ ad = bc und nicht als Menge von Tupeln (was ich damit sagen will: es ist wesentlich, dass Q Äquivalenzklassen und keine Tupel enthält, weil sonst die richtige Unterscheidbarkeit nicht mehr gegeben wäre). Weiter wären bei der Definition durch N × N negative Brüche nicht enthalten, die Definition wäre also nicht wirklich mit der üblichen Anschauung von rationalen Zahlen verträglich.
Prinzipiell stimmt das. Wegen der Abzählbarkeit von NxN, ZxZ und Q läßt sich aber ohne Probleme eine passende Bijektion erzeugen.
Ja, das ist natürlich klar. Mich störte eher das "ist" - dass jeder Bruch durch ein natürliches Tupel eineindeutig identifizierbar ist, stimmt natürlich.
Ja, das war ein wenig salopp von mir formuliert und sollte einem Mathematiker eigentlich nicht passieren, sorry.
Es gilt per Definition des kartesischen Produkts
und
Damit hätten wir die Mengen schon mal angegeben. Intuitiv: Die Mengen enthalten alle geordneten Paare, die aus natürlichen Zahlen bestehen, also beispielsweise (1,3), (4, 24), (45, 23) und so weiter.
Tatsächlich kann man sich diese Mengen sehr schön mit einem Gitter visualisieren, indem wir (im zweidimensionalen Fall) mit den kanonischen Basisvektoren
das Gitter
bzw. allgemeiner (da die Wahl der Basisvektoren irrelevant ist) mit zwei linear unabhängigen Vektoren
das (gleiche) Gitter
als (echte) Obermenge
und diskrete Untergruppe des IR² identifizieren, denn für den IR² kennen wir schon eine sehr gute Visualisierung: Das kanonische zweidimensionale Koordinatensystem. Intuitiv entspricht das Gitter dann auch dem, was man intuitiv unter einem Gitter verstehen würde: Gamma ist dann die Punktmenge im IR² mit ganzzahligen Komponenten, IN ⨯ IN die Teilmenge, die nur positive (also natürliche) Zahlen enthält (visuell der 1. Quadrant ohne Koordinatenachsen). Selbiges geht natürlich völlig analog auch für den dreidimensionalen Fall, nur dass das Gitter dann eben eine diskrete Untergruppe des IR³ bildet und du es dir dann am kanonischen dreidimensionalen Koordinatensystem bzw. dem dreidimensionalen reellen Raum visualisieren kannst. Mihisu hat dir für beide Fälle schöne Abbildungen geliefert.
Ich würde sagen damit sind alle natürlichen Quadrat und Kubikzahlen gemeint.
N = {1,2,3,...}
N×N = {1×1,2×2,3×3,...} = {1,4,9,...} = {a:n×n=a:n,a€N}
N×N×N = {1,8,27,...} = {b:n×n×n=b:n,b€N}
wenn doch N die Menge der natürlichen Zahlen ist, wäre N mal N doch schlicht jede Multiplikation, nicht nur Quadratzahlen bzw. Kubikzahlen ?
...damit sind alle natürlichen Quadrat und Kubikzahlen gemeint.
Nein, alle geordneten Paare bzw. Tripel Natürlicher Zahlen.
Nein, mit ℕ × ℕ ist üblicherweise das entsprechende kartesische Produkt
ℕ × ℕ = {(a, b) | a ∈ ℕ, b ∈ ℕ}
gemeint.
Bei ℕ × ℕ × ℕ würde ich dann wohl sowas aufschreiben: https://i.imgur.com/plmGLgd.png