Rechteck im Quadrat errechnen?
Wie kann ich diese Mathematikaufgabe korrekt lösen?
Ein Rechteck in einem Quadrat ist gegeben und durch Einsetzen von x=3 sollen die Seitenlängen sowie der Flächeninhalt des Rechtecks errechnet werden.
4 Antworten
Die Fläche ist vergleichsweise einfach zu bestimmen
.
10² - 2*(x*x/2) - 2*((10-x)²/2)
.
Für den Umfang reicht B oder L
, denn mit A = B*L kommt man an die andere Länge
.
Ohne Pyth ?
Mit dem HöhenSATZ ::::::::h² = q*p :::::::::::::HIER h² = (einpunkt)*(zweipunkt)
h² = (b/2)²
A = h*b.....A/b = h
A²/b² = b²/4
4A² =b^4
.
Mit x = 3 wäre A = 9/2
4*36/4 = b^4
36 = b^4
wurz(6) = b
(denn w(6)*w(6) = 6 )
Wenn keine Form des Pythagoras angewendet werden soll (also vermutlich auch nicht Sinussatz etc.) - was ich nicht ganz nachvollziehen kann - kann man die Fläche immerhin noch vergleichsweise leicht berechnen - das Quadrat setzt sich zusammen aus dem Rechteck und vier Dreiecken; je 2 dieser Dreiecke bilden ein Quadrat, die Seitenlängen dieser Quadrate sind bekannt oder leicht errechenbar.
Um auf die Seitenlängen des Rechtecks zu kommen, muss man entweder wissen, dass die Diagonale eines Quadrates Wurzel(2) mal so lang ist wie seine Seite, oder Symmetrieargumente verwenden (wird aber komplizierter).
Auf die Sache mit Wurzel(2) und der Diagonale des Quadrates kommt man, wenn man das Quadrat in zwei Dreiecke aufteilt und aus 4 dieser Dreiecke ein doppelt so großes Quadrat zusammensetzt.
Der Sinussatz schon. Aber beim Kosinussatz könnte es zu Problemen führen, denn schließlich ist der Pythagoras der Sonderfall des Kosinussatzes für gamma=90°. Andererseits, ich würde es mit dem Kosinussatz machen und wenn es nicht akzeptiert wird gibt es Krach. Was kann ich dafür dass der Term -2ab×cos90° null ist und dadurch wegfällt? Da würd ich Tote aufstehen lassen!
Zuerst einmal, wenn der Pythagoras nicht verwendet werden darf, musst du das dazu schreiben, denn die naheliegendsten Lösungen würden den Pythagoras benutzen!
Eine Möglichkeit, die ich sehe geht wiefolgt:
Den Flächeninhalt des Rosenbeetes bekommst du als Differenz des ganzen quadratischen Beetes und der vier rechtwinkligen Dreiecke, die durch das Rosenbeet abgetrennt werden.
Ersteres ist einfach (10m)², die Dreiecke berechnen sich aus ½ab, wobei a und b bei den kleinen Dreiecke jeweils x ist und bei den großen (10m-x).
Um an die Seitenlängen ohne Pythagoras musste ich erstmal überlegen.
Ich würde den Höhensatz verwenden.
In der Dreiecksflächenformel ½ab sind a und b ja eigentlich jeweils eine Seite und ihre Höhe. Da wir rechtwinklige Dreiecke haben, bietet sich an, für a und b die Katheten einzusetzen. Wir können aber auch die Hypotenuse und die dazugehörige Höhe nehmen.
Da beides dieselbe Fläche beschreibt, bekommen wir die Formel:
Ich schreibe das hier so umständlich, weil diese Formel sowohl für das kleine als auch das große Dreieck gilt.
Wieso bringt uns das was? Weil wir die Katheten kennen und die Hypotenusen der Dreiecke ja die Länge bzw. Breite des Rosenbeetes ist.
Uns fehlt also nur noch die Höhe auf die Hypotenusen.
Eine Möglichkeit an diese Höhe ohne den Pythagorassatz dranzukommen ist der Höhensatz:
h²=pq, wobei p und q die beiden "Hälften" der Hypotenuse sind, in die die Höhe die Hypotenuse teilt. Ich schreibe Hälften hier in Anführungszeichen, weil p und q in einem allgemeinen Dreieck natürlich nicht gleich lang sein müssen. Weil wir es hier aber mit gleichschenkligen Dreiecken zu tun haben, sind p und q gleichlang und damit die Hälfte der Hypotenuse.
Somit können wir die Höhe als Funktion der Hypotenuse ausdrücken und in die oben genannte Formel einsetzen, in der nun als einzige Unbekannte die Hypotenuse und damit die gesuchte Länge bzw. Breite des Rosenbeetes vorkommt, nach der man lösen kann.
Und das war's auch schon! Ganz einfach. 😛
PS: Es wäre wesentlich effizienter, zuerst die allgemeine Lösung zu ermitteln und danach die speziellen Fälle x=3m und x=2m einfach durch Einsetzen zu ermitteln.
Auch hier macht die Vorgabe deines Lehrers mehr Arbeit, weil ja explizit gefordert ist, die allgemeine Lösung zuletzt zu ermitteln.
Ich denke mir da mal meinen Teil dazu...
So, wie ich die Fragestellerin verstehe, wollte der Lehrer, dass die Schüler andere Methoden als den Satz des Pythagoras anwenden.
Es war nicht gefordert, dass diese Methoden unabhängig hergeleitet werden sollen.
Dude, die FS ist nicht in einem Mathematik-Seminar, sondern vermutlich in der 8. oder 9. Klasse.
Aber ja, man kann den Höhensatz auch ganz ohne den Herrn Pythagoras nachweisen. Auf Wikipedia wird so ein Beweis über Zerlegungen gezeigt.
Zufrieden?
Der Pythagoras bringt Dich weiter.
x²+x² = b²
Danke,dass hatte ich auch schon versucht,aber unser Lehrer möchte die Aufgabe anders gelöst haben.
Die Pythagoras-Gleichung allein löst noch nicht die ganze Aufgabe.
Aber meinst du vielleicht, der Lehrer wolle eine Lösung ohne Pythagoras ??
Wir hatten das Thema Satz des Pythagoras vor Monaten und der Lehrer hat explizit gesagt,dass keine Art des Pythagoras angewendet werden soll. Unser jetziges Thema sind Parabelgleichungen und das Modellieren mithilfe dieser,aber ich weiß trotzdem nicht ganz wie die Aufgabw zu lösen Aufgabe
Um den Satz des Pythagoras als "Hilfsmittel" wirst du wohl nicht herum kommen: es gilt A=b*l und b²=2x² und l²=2(10-x)².
Ziehst du jetzt hinten die Wurzeln und setzt das in die Flächengleichung für b und l ein, erhältst du eine von x abhängige Gleichung, also A(x). Somit hast eine zu eurem jetzigen Thema passende Gleichung: eine Parabelgleichung...
"Um an die Seitenlängen ohne Pythagoras musste ich erstmal überlegen.
Ich würde den Höhensatz verwenden."
... und bist du dir ganz sicher, dass du einen Beweis des Höhensatzes liefern könntest, welcher ohne eine Spur der Verwendung des Satzes von Pythagoras auskommt ?