Prüfen Sie ob die Menge mit der Verknüpfung eine Gruppe bildet?
Ich bin so am verzweifeln leute
2 Antworten
Einfach ein Axiom nach dem anderen prüfen. Entweder alle Fälle nachrechnen oder aus bekannten Eigenschaften herleiten (Siehe Assoziativität).
Bekannt ist dabei: Multiplikation ist assoziativ und kommutativ. Außerdem ist das neutrale Element bzgl. der Multiplikation die 1. Das Inverse Element der Multiplikation zu a ist 1/a. (Der Beweis funktioniert auch ohne diese Infos, die machen es aber einfacher und dürfen sicherlich als gegeben betrachtet werden)
- Abgeschlossenheit: Mit anderen Worten: Bei beliebiger Rechnung mit der Verknüpfung (Multiplikation) erhält man Elemente aus der Menge. Mögliche Rechnungen: 1*1, (-1) * 1, (-1)*(-1). Die Ergebnisse sind alle aus der Menge (jeweils entweder 1 oder -1). Wegen Kommutativität der Multiplikation muss man 1 * (-1) nicht unbedingt zeigen, wenn man (-1) * 1 schon gezeigt hat.
- Assoziativität: Folgt direkt aus der Assoziativität der Mutliplikation. (Dass Multiplikation assoziativ ist, muss man halt wissen. Ansonsten bleibt nur alle Fälle durchzurechnen)
- Existenz neutrales Element: zu zeigen: Es existiert ein Element e sodass für alle Elemente a gilt: a * e = e * a = a. Mit anderen Worten: Es gibt eine Zahl in der Menge, sodass bei der Multiplikation die ursprüngliche Zahl rauskommt. Das ist bei Multiplikation nur für die 1 der Fall. Ist die 1 in der Menge? Ja, also gibt es das neutrale Element Element. (Beweis: a * 1 = a = 1 * a)
- Zu jedem a gibt es ein Inverses, also ein Element sodass bei Multiplikation das neutrale Element (also 1) rauskommt. Also gibt es eine Zahl a, sodass gilt (-1) * a = 1? Ja, nämlich a = -1. Gibt es ein Element a sodass 1 * a = 1? Ja, nämlich a=1. Das Axiom stimmt also.
Damit stimmen alle Axiome also ist M mit der Multiplikation eine Gruppe.
Bei b) geht es wegen dem neutralen Element schief, denn nur die 0 ist bezüglich der Addition neutral und die ist nicht in der Menge.
Und die anderen beiden Aufgaben macht man genauso.
Bei b geht es schon bei der Abgeschlossenheit schief, denn -1 + 1 = 0, und 0 ist nicht in der Menge.
Bei ganz normaler Multiplikation ergibt 3*2 nicht 0. Bei dieser Aufgabe also auch nicht (So verstehe ich sie jedenfalls). Bei einer Verknüpfungstabelle der Multiplikation, eingeschränkt auf z.B. die Elemente -1 und 1 muss sich alles trotzdem exakt so verhalten wie bei der Multiplikation. Sonst stellt die Tabelle eine andere Verknüpfung dar.
Man könnte natürlich eine Verknüpfung x erfinden bei der 3x2 = 0 ist. Vermutlich verwechselst du das mit einer solchen aus der Vorlesung?
Bei einer erfundenen Verknüpfung ist das ein bisschen trial and error. Du fängst einfach an die Tabelle auszufüllen und prüfst, ob alle Axiome erfüllt sind. Geht etwas schief, musst du sie entsprechend anders ausfüllen. Natürlich kann man Vermutungen anstellen, wie die Tabelle ungefähr aussehen muss, damit es funktioniert.
Macht man das, geht es aber darum eine neue Verknüpfung mit bestimmten Eigenschaften zu definieren. Bei deiner Aufgabe dagegen geht es darum zu prüfen ob eine gegebene Verknüpfung alle nötigen Axiome erfüllt.
Schreib die Gruppenaxiome auf - und dann prüfe die schön einzeln.
Erstes Beispiel:
Abgeschlossenheit:
1*1 = 1
1*(-1) = -1
(-1)*(-1) = 1
(-1) * 1 = -1
(statt das so aufzuschreiben, kannst du auch eine Verknüpfungstabelle machen)
Offenbar ist das abgeschlossen, denn egal, wie ich zwei Elemente aus der Menge miteinander multipliziere, es kommt immer wieder ein Element heraus.
Neutrales Element ist die 1, das passt also auch.
Assoziativgesetz gilt, weil das die gleiche Multiplikation ist wie in den reellen Zahlen und da gilt e.
Inverse Elemente gibt es auch (1 ist invers zu 1, -1 zu -1, denn 1 = 1*1 = (-1)*(-1))
Also ja, Gruppe.
Jetzt du.
Ok und wie macht man eine Verknüpfungstabelle? Die ersten Zeilen sind klar aber in der Mitte wirds unklar, weil dann 2*3= 0 ergibt oder so
Ok und wie macht man ne verknüpfungstabelle? Ich versteh nicht ganz, wie z.B 3*2= 0 ergibt🤷🏽♀️