Prozentuale dichteänderung bei erhitzten Zylinder?

Hey haben folgende Aufgabe. Kann mir jmd schritt für Schritt erklären, was die in der Lösungen gemacht haben? Kann das iwie nicht wirklich nachvollziehen

Answer 1

[f0felix]

Also p=m/V ist die Formel für die Dichte;

Das Dreieckzeichen steht für Differenz, also fängt die Formel an mit:

p1(bei 100 Grad)-p0(0 Grad)= m/V1 - m/V0=...

im zweiten Schritt wird einfach m/V für die Dichte p eingesetzt;

Im nächsten Schritt nimmt man das m aus der Differenz, da m ja konstant ist und sich nur das Volumen des Zylinders bei der Temperaturänderung ändert;

also: m(1/V1 -1/V0);

Dann werden die Brüche auf den gleichen Nenner gebracht aber mit einer Annäherung und zwar mit der Annäherung V0*V1 ungefähr V0^2

(V0-V1)/V1*V0 =ungefähr= (V0-V1)/V0^2

da die Teile jetzt im Nenner vertauscht sind,

-(V1-V0)/V0^2

Nächster Schritt:

p0=m/V

also bleibt:

-p0*(V1-V0)/V0

Dann ist Volumen von Zylinder: Vz=r^2*pi*L

Im allgemeinen gilt für die Ausdehnung bei Festkörpern für die Länge, Fläche und Volumen:

L1=L1*(1+a*deltaT)

A1=A1*(1+a*deltaT)^2

V1=V0*(1+a*deltaT)^3

mit a ist der thermische Längenausdehnungskoeffizient gemeint;

da sich der Körper in alle Richtungen gleich ausdehnt, kann man sagen, dass sich der Durchmesser des Zylinders auch um 0.23% verlängert;

Es müsste dann für die Fläche gelten:

A1=(d*1.0023/2)^2 *pi=(r*1.0023)^2*pi=r^2*1.0023^2*pi

V1=r^2*1.0023^2*pi*L1

Wenn man das jetzt einsetzt, kann man kürzen:

p0*(r^2*pi*(L1*1.0023^2-L0)/r^2*pi*L0)=-p0*(L1*1.0023^2-L0)/L0

Mit L1=L0*1.0023:

-p0*(L1*1.0023^2-L0)/L0=-p0*(L0*1.0023^3-L0)/L0=-p0*(1.0023^3 -1)

Jetzt der Unterschied der Dichte in Prozent:

Delta p/p0=-(1.0023^3-1)=-0.0069 ->-0.69%(gerundet)

Man sieht das so das richtige Ergebnis herauskommt jedoch ist der Weg anders als in der Lösung;

Man könnte auch gleich für das V1 schreiben:

V1=V0*1.0023^3

da der Term: (1+a*deltaT) ja für die Längenanderung in Prozent/100 steht, also für 1.0023;

Setzt man dies ein kommt man auf das gleiche Ergebnis jedoch wieder nicht der Weg in der Lösung;

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Die angegebene Abhängigkeit von x^n mit dy/y=n*dx/x kann man herleiten:

y'=dy/dx= lim x gegen x0 (x^n-x0^n)/(x-x0)=n*x^(n-1)

und:

n*x^(n-1)= n* x^n/x

weiter ist y=x^n und somit ist:

n* x^n/x=n* y/x

-> dy/dx=n* y/x

dy/y=n* dx/x

Jetzt ist aber noch nicht klar wieso x eventuell als L gesehen wird und für das V eine Funktion mit hoch 3 gilt, da V1 ja eigentlich in Abhängigkeit von T ist( V1=V0*(1+a*deltaT)^3);

Eigentlich kann man auch nicht die Gleichung von x^n verwenden, da dies ein Differenzialqoitent ist und Delta V ja nur die Differenz von den V ist; wenn dann müsste die Gleichung auf für den Differenzenqoitenten gelten was aber ein Differenzialqoitent nicht tut;

Schaut man sich jedoch den Wert der Längenanderung an, ist dieser relativ gering;

Benutz man für dV/dx den Differenzenqoitenten mit der Gleichung für x^n wobei x dann der Term(x1=1.0023 und x0=1):

1+a*deltaT

ist und V1 wie bereits angegeben:

V1=V0*(1+a*deltaT)^3 ist

dV/dx=(V0*x1^3-V0)/(x1-x0)=ungefähr V0*3*x0^3/x0; (V0*x0^3 = V0 ) (für 3 würde 3.0007 rauskommen und da man jetzt sozusagen die Steigung für einen bestimmten Punkt x0 berechnet dem man sich von x1 annähert obwohl hier natürlich dann wie gesagt der Differenzenqoitent als Annäherung verwendet wird, bleibt ...3*x0^3/x)

umgestellt:

(V0*x1^3-V0)/(V0*x0^3)=3*(x1-x0)/x0

(V0*x1^3-V0)/V0=3*(x1-x0)/x0

sieht man das die Gleichung mit dem Differenzialqoitenten eine Annäherung ist, da 3 ungefähr 3.007 ist; dies wurde durch den Aufgabensteller leider nicht angegeben;

Jetzt steht als nächstes -p0*3*Delta L/L und nach der Annäherung mit der Gleichung von x^n war dx=x1-x0(x1=1.0023 und x0=1);

Also würde jetzt dastehen:

-p0*3*(x1-x0)/x0 und das ist das gleiche wie -p0*3*Delta L/L, da L1=L0*x1 und L0=L0*x0=L0(Erweiterung des Bruchs mit L0) ist; die L0 würden sich also kürzen wie es auch im folgenden bei Delta p/p dann gemacht wird;

Delta p/p0= -p0*3*Delta L/L /p0=-3*Delta L/L=-0.69%

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik und Naturwissenschaften

Answer 2

[evtldocha]

Was da im Wesentlichen gemacht ist die Näherung eines Differenzenquotienten mit der Ableitung (Differenzialquotient)

$\frac{d\rho}{dV}\approx\frac{Δ\rho}{\Delta V}\ \toΔ\rho\ =\ \frac{d\rho}{dV}\cdot\Delta V$

Mit der Definition der Dichte als Masse pro Volumen ergibt sich:

$\rho=\frac{m}{V}\to\frac{d\rho}{dV}=-\frac{m}{V^2}\$

Diese Ableitung oben eingesetzt ergibt

$\Delta\rho\ =-\frac{m}{V^2}\cdot\Delta V=-\ \frac{m}{V}\cdot\frac{\Delta V}{V}=-\rho\cdot\left(\frac{\Delta V}{V}\right)$

Nun macht man wieder eine Näherung wie oben (einen eventuellen Proportionalitätsfaktor V=k·L³ habe ich weggelassen, der würde sich am Ende sowieso herauskürzen.)

$V=L^3\ \to\frac{dV}{dl}=3\cdot L^2\ =\ \frac{\Delta V}{\Delta L}\ \to\Delta V\ =3\cdot L^2\ \cdot\Delta L\$

$\to\frac{\Delta V}{V}=\frac{3\cdot L^2\cdot\Delta L}{L^3}\ =3\cdot\frac{\Delta L}{L}$

Und nun kann das oben einsetzen und hat:

$\Delta\rho=-\rho\cdot\frac{\Delta V}{V}=-3\rho\left(\frac{\Delta L}{L}\right)$

Dividiert man die letzte Gleichung noch durch ρ hat man

$\frac{\Delta\rho}{\rho}=-3\frac{\Delta L}{L}$