PQ-Formel Physik: Stein fällt in Brunnen?
Guten Tag. Heute habe ich Nachhilfe in Physik gegeben. Bei einer Frage ist etwas interessantes passiert:
Man lässt einen Stein in einen Brunnen fallen. t = 4 s nach dem Fallen lassen ist das Geräusch des Auftreffens hörbar. Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls v(2) = 340 m/s. Wie tief liegt der Wasserspiegel?
Jemand kam auf die Lösung indem er meines Wissens die PQ-Formel falsch angewandt hat. Ich kann mir aber vehement nicht vorstellen wie es dennoch funktioniert.
Ansatz: Der Weg des Schalls von der Wasseroberfläche entspricht dem Fallweg des Steins. Schall entspricht gleichförmige Bewegung, Fall des Steins gleichmäßig beschleunigte Bewegung (freier Fall). Weiterhin: Stein = 1; Schall = 2.
s(1) = 1/2 * g * t(1)^2
s(2) = v(2) * t(2)
s = s(1) = s(2)
1/2 g * t(1)^2 = v(2) * t(2)
t = t(1) + t(2)
Mit letzten beiden folgt:
1/2 g * t(1)^2 = v(2) * [t - t(1)]
1/2 g * t(1)^2 = v(2) * t - v(2) * t(1)
f(x) = 1/2 g * t(1)^2 + v(2) * t(1) - v(2) * t = 0
PQ-Formel und das erste Ergebnis liefert (mit addieren der Diskriminante):
t(1) = 3,79 s
Richtiges Ergebnis um auf die Lösung zu kommen. Aber: Meines Wissens wurde die Herleitung der letzten Gleichung falsch aufgestellt, denn das darf nicht gemacht werden. Man setzt zwar quadratische Funktionen gleich 0 aber nicht dadurch, dass man alles auf eine Seite pakt und zwar auch f(x) um die PQ-Formel anzuwenden. Es wäre "A" mit "A" subtrahieren und dennoch ist das Ergebnis richtig.
Wie ist das mathematisch möglich? Ich verstehe es eigentlich so, dass hier PQ-Formel nicht gelten dürfte. Denn das umstellen samt f(x) auf eine Seite würde das gleich 0 setzen nicht definieren als: man suche jene Punkte wo f(X) = 0 annimmt sondern man löscht damit den kompletten physikalischen Kontext durch die Eliminierung mit sich selbst. Ich hätte 0 als Ergebnis erwartet aber nein die Methode funktioniert.
Kann mir jemand Klarheit schaffen?
4 Antworten
Versuch nicht, die mathematischen Schritte physikalisch zu rechtfertigen oder ihnen einen Sinn zu geben. Meistens gibt es keinen.
Die Gleichung 1/2 g * t(1)^2 = v(2) * t - v(2) * t(1) wird genau dann von t(1) erfüllt, wenn die Gleichung 1/2 g * t(1)^2 + v(2) * t(1) - v(2) * t = 0 erfüllt wird.
Beide sind äquivalent zueinander.
Daher ist die ganze gerechtfertigt.
Wieso man das dann f(x) nennen will ist mir unklar, zumal gar kein x vorkommt.
Man muss nur die pq-Formel auf die letzte Gleichung anwenden und fertig.
Nochmal, es gibt in meinen Augen keinen Grund überhaupt eine Fkt aufzustellen.
Man hat die Gleichung 1/2 g * t(1)^2 + v(2) * t(1) - v(2) * t = 0 und löst sie mit pq.
Fertig.
Ich werde aus deinem Text nicht wirklich schlau
"da man A mit A subtrahiert"
"dann im physikalischen Kontext so, dass f(t1) mind. eine physikalische Größe beinhaltet"
Das Zustandekommen der Formel ist vollkommen richtig und einfach zu erklären. Ich tu es schritt für Schritt, damit es nachvollziehbar ist ;-)
t1 wurde als Zeit des fallenden Steins definiert. Insofern ist schonmal das Ziel herauszubekommen, wie groß t1 ist.
Die Formel
f(x) = 1/2 g * t(1)^2 + v(2) * t(1) - v(2) * t = 0
wurde richtig aufgestellt, allerdings kann man auf den Anfang f(x) entweder verzichten, da dies unerheblich ist oder durch f(t1) festlegen. Ich entscheide mich für Option 2.
f(t1) definiert den Fall bzw. die Strecke des fallenden Steins in Abhängigkeit von seiner Zeit t1. Da er mit gleichmäßiger Beschleunigung fällt sieht der Weg, auf zwei Koordinaten verteilt, aus wie eine Parabel.
f(t1) wird nun mit Null gleichgesetzt, da der für uns interessante Wert, der Aufschlag des Steins auf dem Wasser ist. Der Boden ist somit Punkt 0 auf dem Koordinatensystem. Der Start des fallenden Steins ist der Scheitelpunkt der Parabel.
Nach Auflösung von t1 kommen auch zwei Werte heraus, der eine ist aber mit sicherheit negativ, also kann er ausgeschlossen werden, da Zeit nicht rückwärts läuft. ;-)
Hoffe du kannst was mit der Erklärung anfangen.
Der falsche Schritt ist, einfach ein f(x) davor zu setzen. Nirgendwo hat man eine Funktion aufgestellt und schon mal gar keine in Abhängigkeit von x. x kommt ja auf der rechten Seite überhaupt nicht vor.
Wenn überhaupt, hätte man Funktionen s(t) aufstellen müssen um dann zum Schluss festzustellen, dass s_1(t1) = s_2(t -t1) ist, womit man aber auf dieselbe mit der PQ-Formel zu lösende Gleichung gekommen wäre.
Von Anfang an wurde lediglich ein Gleichungssystem für einen konkreten Punkt aufgestellt und beim Auflösen von Gleichungen ist es nicht nur erlaubt sondern völlig üblich, alles auf eine Seite zu bringen, sodass auf der anderen Seite 0 steht.
Vielleicht ist es ein drastischer Fehlgedanke der mir während des Abiturs unterlaufen ist und sich bis heute durchgemogelt hat. Mir ist klar, dass das aufstellen einer Funktion nicht notwendig ist.
Mir geht es um folgendes: Wenn man eine beliebige quadratische Gleichung hat, dann ist f(x) nur eine quadratische Funktion, wenn die Abhängigkeit zu x wirklich da ist. Habe ich also folgend:
f(x) = x^2
kommt eine Parabel raus, klar. Begehe ich aber nun nicht den Schritt f(x) =x^2 = 0 zu definieren, sondern erreiche das 0 Setzen durch umstellen mit x^2 - f(x) = 0 und wende herauf PQ-Formel an, müsste x^2 durch - f(x) eliminiert werden und das Ergebnis müsste meines Verständnisses immer 0 sein. Denn hiermit würde man ungewollt die neue Funktion g(x) = x^2 - f(x) = 0 definieren, wobei im Laufe dessen darauf kommen müsste, dass g(x) keinerlei Abhängigkeit mehr zu X besitzen dürfte, denn f(x) ist das gleiche wie x^2 und somit löscht es sich in der Subtraktion immer wieder aus, unabhängig von x. Daher wäre g die konstante Funktion g(x) = 0.
Es wurde schon von ystoll gesagt, dass ich doch bitte kein physikalischen Kontext hinter f(x) erzwingen solle, würde aber gegen mein komplettes Wissen sprechen.
Ich sehe deinen Gedankenfehler.
Begehe ich aber nun nicht den Schritt f(x) =x^2 = 0 zu definieren, sondern erreiche das 0 Setzen durch umstellen mit x^2 - f(x) = 0 und wende herauf PQ-Formel an, müsste x^2 durch - f(x) eliminiert werden und das Ergebnis müsste meines Verständnisses immer 0 sein.
Ja, das stimmt. Aber es ist nicht zielführend. Das Ziel ist nicht nur, =0 irgendwo stehen zu haben, sondern gerade eben auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens etwas stehen zu haben, das nicht 0 ist und idealerweise von x abhängt.
Aus der Identität a=a kannst du immer 0=0 erzeugen, also wird aus f(x)=x² dann f(x)-x²=0, woraus 0=0 folgt, da ja f(x) gleich x² ist. Das bringt dir aber eben nur die Aussage, dass 0 gleich 0 ist, die zwar zweifelsohne stimmt, dir aber nichts liefert.
5 Äpfel sind 5 Äpfel, und wenn ich 5 Äpfel esse, hab ich nur noch 0 Äpfel. Kann ich damit eine qualitative Aussage über die Eigenschaften der Äpfel treffen?
x² ist x², und wenn ich x² von x² abziehe, hab ich 0. Bringt mir das was bei den Nullstellen?
Noch einmal: Man findet die Nullstellen heraus, indem man die Funktion einfach auf 0 setzt und schaut, wie sich dann die x-Werte verhalten. Es funktioniert nicht, sich einfach 0=0 zu erzwingen.
Ein kleiner Denkfehler hat sich bei dir tatsächlich eingeschlichen, ja. ^^'
Also du hast die Funktion: f(x) =x^2.
Stellst du sie um zur Formel: x^2 - f(x) = 0 so musst du nun weiterhin beachten, dass f(x) =x^2 ist. folglich kannst du entweder x^2 durch f(x) ersetzen (1.Fall) oder umgekehrt (2.Fall). Somit erhälst du entsprechend folgendes:
1.Fall: f(x) - f(x) = 0
2. Fall: x^2 - x^2 = 0
In beiden Fällen ist das Nachfolgende Ergebnis 0 = 0 woraus resultiert, dass die Formel wahr und nicht falsch ist. Zur Verdeutlichung: falsch wäre die Formel wenn ein ungleiches Ergebnis rauskommt, z.B. 1 = 0.
Die pq-Formel dient dem Zweck die Nullstellen einer quadratischen Funktion herauszubekommen. Eine Nullstelle ist dadurch definiert, dass die Parabel die x-Achse eines Koordinatensystems kreuzt. Ist dies der Fall, so beträgt der Wert der y-Achse an dieser Stelle 0. Hierbei ist folgendes zu beachten: y = f(x).
Zur Veranschaulichung:
Ein beliebiger Punkt der Parabel y =x^2 liegt auf der Koordinate P(x|y).
Jetzt übertragen wir das Ganze:
Ein beliebiger Punkt der Parabel f(x) =x^2 liegt auf der Koordinate P(x|f(x))
Eine Nullstelle hat die Koordinate N(x|0). Du siehst f(x) wird als Null definiert, weil es hier um eine Nullstelle geht.
Die Umstellung von der du ausgehst, um die Formel mit Null gleichzusetzen ergibt sich aus deinem ursprünglichen Beispiel mit t(1). Wenn wir den Wert
t(1) = x setzen erkennst du es:
1/2 g * t(1)^2 = v(2) * t - v(2) * t(1)
<=> 1/2 g * x^2 = v(2) * t - v(2) * x
In diesem Fall haben wir zwei Gleichgesetzte Formeln, die wir gemeinsam auf einer Seite haben wollen. Durch weitere Umstellung resultiert das Ergebnis in der Formel:
1/2 g * x^2 + v(2) * x - v(2) * t = 0
Setzen wir nun die gegebenen Werte und für x =3,79 ein, so erhalten wir das Ergebnis Null. Setzen wir für x einen anderen Wert ein, so ergibt sich ein anderer Wert ungleich Null.
1) a=g nun 2 mal integrieren
2) V(t)=g*tf+Vo mit Vo=0
3) S(t)=1/2*g*tf^2+So hier So=Brunnentiefe
4) So=Vs*ts Vs=340 m/s
5) t=4s=tf+ts ts=4s-tf
4 in 3 S(t)=0=1/2*g*tf^2+Vs*ts mit 5)
0=1/2*g*tf^2+Vs*(4-tf)
Wir haben hier 1 Gleichung (Parabel) und 1 Unbekannte tf (Fallzeit)
nun die nullstellen mit der p-q-Formel berechnen oder noch besser mit einen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe.
Alle anderen Berechnungen können eigentlich nicht stimmen.
Kann man ja Probieren.
Aber ist es nicht so, wenn man f(t1) auf die andere Seite bringt man schlichtweg 0 als Funktion von f(t1) betrachtet, aber durch das subtrahieren man vom Ergebnis nur nachweisen sollte, dass der Wert 0 unabhängig von t1 da man A mit A subtrahiert. Wenn hier f(t1) vorliegen soll dann im physikalischen Kontext so, dass f(t1) mind. eine physikalische Größe beinhaltet die eine Abhängigkeit zu t1 haben sollte?
Wäre hier doch die konstante Funktion 0 unabhängig von t1.