Paradoxon mit der Unendlichkeit im Dezimalsystem?
Hallo zusammen.
Ich möchte hier keine großartige Diskussion lostreten und mir ist durchaus bewusst, dass man 0,999... = 1 logisch beweisen kann, wenn man das Dezimalsystem verlässt.
Allerdings ergibt sich für mich ein anderes Paradoxon, welches sich für mich gerade nicht unmittelbar erklären lässt, bei mir aber als Idee aufkam, als ich mit jemand anderem über die teilweise paradoxen Situationen im Dezimalsystem "stritt". Vielleicht kann mir jemand von euch helfen:
Korrekt so weit? Ebenfalls kann man annehmen, dass
ist... Ebenfalls korrekt? Aber was ist dann mit:
Einerseits müsste es 0 sein, da jede Multiplikation mit dem Faktor 0 = 0 ist. Andererseits kann ich es aber doch auch logisch zu 1 kürzen.
Also ist es nun 0 oder 1 oder unlösbar?
8 Antworten
Unendlich ist keine Zahl.
Solche Operationen wie ...
... sind nicht zulässig.
mir ist durchaus bewusst, dass man 0,999... = 1 logisch beweisen kann, wenn man das Dezimalsystem verlässt.
Und auch, wenn man das nicht tut.
Zum Rest: 1/Unendlich ist nicht 0, weil man mit Unendlich nicht rechnen kann wie mit einer Zahl. Unendlich ist ein gedachter Grenzwert.
Du kannst an unendlich viele 9en etwas anhängen, das 0.99999... und 1 zu verschiedenen Zahlen machen würde?
Und du kannst ausschließen, dass 1/x = 0 ist, wenn x gegen unendlich geht? Denn das hast du getan als du sagtest, dass unendlich (das x) keine Zahl ist.
Sorry, bei dir fehlen zu viele Grundlagen. 1/x ist nicht Null, es geht gegen Null, wenn x gegen Unendlich geht. Du kannst damit nicht rechnen.
Dann kann 1 - 0,999... nicht 0 sein. Wenn 1/x sich nur null annähert aber niemals erreicht, dann muss die gleiche Bedingung für 1 - 0,999... gelten logisch gesehen.
Ich meine, verlass für einen Moment mal alles was du weißt und betrachte es nur logisch und verändere die 1 zu 1,000...
1,000... - 0,999... = 0,000...1
Es müsste immer ein Rest übrig bleiben, schließlich gibt es zu jeder 0 hinter dem Komma eine 9 auf der anderen Seite, richtig, entsprechend verschiebt sich der Rest zwar in alle Ewigkeit, wird dadurch aber ja nicht logisch eliminiert.
Deine Zahl 0.000...01 kann nicht existieren (bzw es ist genau 0), da für Reelle Zahlen das Archimedische Axiom gilt:
Für Alle y>x>0 gibt es eine Natürliche Zahl n (und nein, unendlich ist keine natürliche Zahl) sodass n*x>y gilt.
Im Umkehrschluss mit y = 1 gilt dass für jede positive reelle Zahl x gilt, dass x>1/n für ein natürliches n erfüllt ist.
Betrachte nun die Folge 0.9 0.99 0.999 usw
Dann ist die differenz von 1 und dem n. Folgenglied gleich 10^(-n)
Jetzt sei angenommen, 1-0.99... sei tatsächlich >0
Dann gilt nach Archimedes, dass es ein n gibt, sodass 1-0.99.. > 1/n erfüllt ist
Jedoch gilt offensichtlich dass 10^(-n) kleiner als 1/n ist, ist die differenz von 1 und dem n. Folgenglied kleiner als 1/n, da die differenz jedoch bei jedem weiteren Folgenglied noch kleiner wird, und somit 1-0.99... auch kleiner als diese Differenz ist, erhalten wir ein Widerspruch zu Archimedes.
Somit muss 1-0.99... <= 0 gelten, da die differenz aber auf jeden Fall nicht negativ ist, ist diese Differenz somit 0.
Also gilt 1=0.99...
Sorry, ich kann dir nicht alles erklären. Ein paar haben es ja schon versucht. Glaub einfach, was du willst.
auch kleiner als diese Differenz ist
Wenn n genauso genauso groß ist wie die Anzahl der Stellen der Periode - nämlich unendlich?
Wenn man 1 durch eine Zahl teilt, die mehr Stellen umfasst, als unser reales Universum an Atomen zum Beschreiben hat, dann wäre 1 / n nicht mehr von 0,000... zu unterscheiden, richtig? Entsprechend muss man annehmen, dass 1/n praktisch = 0 ist, wenn n einfach nur ausreichen groß wird.
Also gilt 1=0.99...
Basierend auf der Erkenntnis vom Absatz davor nur dann, wenn 1/n eben auch den Status 0,000... annehmen kann. ;-) Alles andere ist nicht logisch, auch wenn Mathematiker, die Brut die sich anmaßt die Logik für sich gepachtet zu haben, das natürlich anders sehen!
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Gleiches gilt für das Drittel meines Kuchens, der zwar real und endlich ist, aber irgendwie paradoxerweise auch unendlich zwischen zwei eingrenzbaren Flächenangaben, womit er unendlich endlich wird. Ein Logikschmaus für jeden Philosophen... ;-)
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Sorry, ich kann dir nicht alles erklären. Ein paar haben es ja schon versucht. Glaub einfach, was du willst.
Mache ich, tust du ja auch! ;-)
Wenn n genauso genauso groß ist wie die Anzahl der Stellen der Periode - nämlich unendlich?
Unendlich ist wie gesagt keine natürliche Zahl.
Entsprechend muss man annehmen, dass 1/n praktisch = 0 ist, wenn n einfach nur ausreichen groß wird.
Außerdem Gibt es kein Axiom "die Reellen Zahlen verhalten sich wie Atome, man kann sie nicht unendlich oft teilen" , außerdem würde das den Körperaxiomen Widersprechen.
Basierend auf der Erkenntnis vom Absatz davor nur dann, wenn 1/n eben auch den Status 0,000... annehmen kann. ;-) Alles andere ist nicht logisch
Nein
Gleiches gilt für das Drittel meines Kuchens, der zwar real und endlich ist, aber irgendwie paradoxerweise auch unendlich zwischen zwei eingrenzbaren Flächenangaben
Das gilt für jede reelle Zahl
Ich glaube nicht, ich kann das herleiten. Aber man hat versucht, dir das zu erklären, du kapierst es nicht, da kann man nichts machen.
Kapieren tue ich es schon, trotzdem sehe ich zu einem gewissen Teil ein Paradoxon. Dies scheint dir aber vorborgen zu bleiben. Daher stellst sich die Frage, wer hier was nicht kapiert... :-)
du stößt dann aber auf sogenannte unbestimmte Ausdrücke:
https://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)#Definition
Einerseits müsste es 0 sein, da jede Multiplikation mit dem Faktor 0 = 0 ist.
außer die Multiplikation 0 * oo
Andererseits kann ich es aber doch auch logisch zu 1 kürzen.
außer bei oo / oo
denn 0 * oo und oo / oo sind unbestimmte Ausdrücke, bei Grenzwertbetrachtungen können sich da verschiedene endliche Werte ergeben.
Hallo,
so ganz unrecht hast Du nicht. Natürlich ist Deine Aussage, daß man das Dezimalsystem verlassen muß, Unsinn. Das Dezimalsystem ist ein Zahlensystem, das auf der Zahl 10 basiert - und das verläßt Du nicht, wenn Du einen Dezimalbruch in einen echten Bruch verwandelst, also 0,333... in 1/3 umschreibst. Sowohl 0,333... als auch 1/3 sind rationale Zahlen, die auf dem Dezimalsystem beruhen.
Ist 0,999...=1 oder nur unendlich nah an der 1?
Wenn man einen periodischen Bruch in einen Dezimalbruch verwandelt, geht man so vor: 0,9999...*10=9,9999....
10*0,99999...-1*0,99999...=9*0,9999...=9, da sich alle Neunen hinter dem Komma durch die Subtraktion aufheben.
Wenn 9*0,999...=9, dann ist 1*0,9999...=9/9=1.
So weit, so gut.
Die Frage ist aber: Sind, wenn ich unendlich viele Neunen von unendlich vielen Neunen abziehe, wirklich alle weg? Wenn ich nämlich zu unendlich vielen Neunen unendlich viele hinzufüge, habe ich nicht etwa zweimal unendlich viele Neunen, sondern immer noch unendlich viele. Ich kann aus einer unendlich großen Menge von Elementen unendlich viele entfernen - und habe trotzdem noch unendlich viele übrig. Wäre das nicht so, müßte es ja eine bestimmte Zahl geben, ab der die Endlichkeit in die Unendlichkeit umschlägt. Die gibt es aber nicht.
Wenn ich also 9,999...-0,999...=9 rechne, tu ich so, als sei unendlich doch eine konkrete Zahl - und das ist dieser Ausdruck auf keinen Fall.
Die Grenzwerte aber, die man bei Grenzwertbetrachtungen ermittelt, sind konkrete Zahlen, mit denen man rechnen kann. Da 0,9999... gegen 1 geht, kann ich mit dieser Zahl rechnen, als wäre sie wirklich 1. Dennoch wird sie diese Zahl nie wirklich erreichen. Der Unterschied zwischen 0,999... und 1 ist aber beliebig klein. Du wirst also keine Differenz zwischen beiden finden, die nicht noch zu unterbieten wäre.
Grenzwerte ermöglichen es, mit Ausdrücken wie unendlich mathematisch umzugehen, auch wenn unendlich keiner bestimmten Zahl entspricht.
Herzliche Grüße,
Willy
Zunächst einmal danke für deine Antwort.
Natürlich ist Deine Aussage, daß man das Dezimalsystem verlassen muß, Unsinn
Damit hast du Recht, war doof formuliert von mir (war schließlich schon 3 Uhr nachts ;-). Aber anders als die anderen hier, machst du keine großen Hehl um Begrifflichkeiten sondern übernimmst das Gedankenkonstrukt, weil du es verstanden hast. :) Danke auch dafür!
10*0,99999...-1*0,99999...=9*0,9999...=9, da sich alle Neunen hinter dem Komma durch die Subtraktion aufheben.
Hiermit habe ich eben ein Problem:
x = 0,99
10x = 9,90
10x - x = 8,91
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x = 0,999
10x = 9,990
10x - x = 8,991
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x = 0,9999
10x = 9,9990
10x - x = 8,9991
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Für jede endliche reelle Zahl in diesem Beispielformat, ist es eine kausale Notwendigkeit, dass ein Rest verbleibt, 9x also kleiner 9 ist. Bei 0,99... setzt du aber voraus, dass beide hinter dem Komma identisch sind.
Begründet wird dies mit der Unendlichkeit, aber wie du bei dem Link gesehen hast, gibt es ja Unterschiede innerhalb der Unendlichkeit.
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Zwar kann man nun auf die Bruchschreibweise ausweichen und sagen 1/3 * 3 = 3/3 = 1. Daher muss 0,99... = 1 sein
Das hebt aber nicht den teilweise paradoxen Ansatz hervor, dass es rein von der Logik betrachtet, ein Rest verbleiben müsste, der nicht auf 9 endet, die Periode als solche also eigentlich nicht mehr gegeben ist.
Und daher wäre 9x in dem Fall auch nicht 9 sondern 8,999..1 - doch dieser Einwand wird immer wieder abgelehnt, weil es ja unendlich ist, die 1 also nie auftauchen darf. "Unendlich ist unendlich, es gibt keinen Unterschied bei unendlich..." - aber genau das wurde ja mathematisch widerlegt. Unendlich² > Unendlich.
Auch ist es ironisch, dass wenn man dann ein vergleichbares Beispiel anführt, dass 1/x dann ja auch praktisch gleich 0 werden können müsste, wird einem diese Darstellung um die Ohren gehauen.
10*0,99=9,90. Das ist schon richtig.
0,99 aber hat eine konkrete Anzahl von Nachkommastellen, nämlich 2.
0,9 periodisch hat aber keine konkrete Anzahl von Nachkommastellen, sondern unendlich viele. Wenn Du aber 0,999... , also eine 0, die von einem Komma und unendlichen vielen Neunen gefolgt wird, mit 10 multiplizierst, bekommst Du eine 9, die von einem Komma und unendlich vielen Neunen gefolgt wird. Die Zahl der Neunen hinter dem Komma verringert sich durch die Multiplikation mit 10 nicht, wie sie es tut, wenn die Anzahl der Neunen hinter dem Komma eine konkrete Zahl ist. Deswegen wirst Du so niemals auf ein Ergebnis wie 8,999...91 kommen.
Du hättest damit dasselbe getan, was Du manchen hier vorwirfst, daß sie nämlich einen Grenzwert mit einer konkreten Zahl gleichsetzen.
Da es kein Ende der Neunerfolge hinter dem Komma gibt, gibt es hinten auch keine 0, von der Du eine 9 abziehen könntest. Somit entsteht auch keine Differenz mit einer 1 als letzter Nachkommastelle. Das passiert nur mit einer konkreten Anzahl an Neunen hinter dem Komma.
Für unendlich gelten die normalen Rechenregeln eben nicht.
Du hättest damit dasselbe getan, was Du manchen hier vorwirfst, daß sie nämlich einen Grenzwert mit einer konkreten Zahl gleichsetzen.
Stimmt, aber sie hauen mir ja auch um die Ohren, dass 1/x > 1-0,99... ist, da man für x einen Grenzwert braucht und unendlich keine Zahl ist mit der man rechnen darf...
Sie verlangen also ein endliches Konstrukt. Wenn sie das dürfen, wieso darf ich nicht? :(
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Danke auch noch mal für deine Ausführungen. Ich sollte vielleicht anmerken, dass mir das Konstrukt durchaus bewusst ist, ich habe es natürlich verstanden. Viele scheinen zu glauben, ich würde tatsächlich davon ausgehen, dass 0,99... != 1 ist. Das tue ich nicht, ich weise nur darauf hin, dass es sich rein logisch etwas paradox verhält. ;-)
Ja, sobald die Unendlichkeit ins Spiel kommt, gelten zum Teil neue Regeln.
zunächst unendlich ist ein Symbol ein Konzept keine Zahl. Spezifisch du schaust dir an was passiert wenn ich unendlich durch x ersetze und das wachsen lasse.
so und hier haben wirr den ersten Fehler 1/unendlich != 0 denn wenn wir gegen unendllich gucken (das x wachsen lassen) nähern wir uns zwar 0 an erreichen diese jedoch nie. (beispiel 1/1 = 1 1/10 = 0,1 1/100 = 0,01 1/1000 = 0,001 1/10000 = 0,0001 usw nie 0 nur sehr nahe null). unendlich / 1 = unendlich korrekt als solches mutiplizieren wir jedoch auch nicht mit einer 0 nur mit etwas sehr nahe an null => das ergebnis ist 1 ;)
Innerhalb des Dezimalsystems habe ich bisher keine Beweisführung gesehen, die das Logikdilemma bewältigen konnte.